线性代数习题及答案-华工版(9)

线性代数习题及答案,华南理工大学版的

3）

1aa2 21bb

1cc2 a3 b3 c3

。

解：1） 2 。2） 4 。3）当a b c时，秩为1；当a,b,c有某两个相等时，秩为2；当a,b,c互不相等时，秩为3 。

提高题

1. 秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和。

证明：设矩阵A的秩r，由推论1 结果可知：存在可逆矩阵P和Q使得

EPAQ r

0

0 1 Er

A P 0 ，即 0

0 10 Ir 1 I1

Q P[ 0 00 0

0 1

]Q0 ，其中Ik

（k 1,2, ,r）表示第k行k列元素为1、其余元素为0的r阶方阵。记

I0 1

Ak P 1[ k ]Q

00 （k 1,2, ,r），则Ak的秩为1，且A A1 Ak。

2. 设m n矩阵A的秩为1，证明：

a1

b1 bn a

A1）可表示成 m ； 2A kA (k是一个数)。 2）

a 0 b, ,bn ，证明：1）因为A的秩为1，所以存在某元素ij。记A的第i行元素为1

则A的任一行向量可由第i行线性表示（否则与i行向量线性无关，与A的秩为1矛

a1

A b1 bn a a, ,an m n依次为第1行、 、盾）。记1第行的表示系数，则有 。

a1

A b1 bn a m 2）由1），所以

a1 a1 a1

A2 [ b1 bn ][ b1 bn ] (b1a1 bnan) b1 bn

a a a m m m

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