线性代数习题及答案-华工版(15)

线性代数习题及答案,华南理工大学版的

1.

证明：线性方程组

a11y1 a12y2 a1nyn b1

ay ay ay b

mnnm m11m22

有解的充分必要条件是

a11x1 a12x2 am1xm 0

ax ax ax 0

mnm 1n12n2

的解全是 b1x1 bmxm 0的解。

a11y1 a12y2 a1nyn b1

ay ay ay b

m22mnnm

证明：1）若方程组 m11有解，设(k1,k2, ,km)是方程组

a11x1 a12x2 am1xm 0

ax ax ax 0

mnm 1n12n2

的解。则

a11k1 am1km 0

ak ak 0

mnm 1n1

，从而

b1k1 bmkm (a11k1 am1km)y1 (a1nk1 amnkm)yn 0 。

a11x1 a12x2 am1xm 0

ax ax ax 0

mnm 1n12n2

2）若

的解全是 b1x1 bmxm 0的解，即

a11x1 a12x2 am1xm 0 a11x1 a12x2 am1xm 0

a1nx1 a2nx2 amnxm 0 ax ax ax 0 bx bx bmxm 0mnm 1n12n2 与 1122 同解，所以矩阵

a11a12 a1n

a11a12 a1n am1am2 amn a bb ba a2n 1mn m1m2

与矩阵

的秩相等。而它们的转置即为方程组

a11y1 a12y2 a1nyn b1

ay ay ay b

mnnm m11m22

的系数矩阵和增广矩阵，由于转置矩阵与原矩阵的

秩相等，所以方程组

2. 已知平面上三条不同直线的方程分别为：

a11y1 a12y2 a1nyn b1

ay ay ay b

mnnm m11m22

有解。

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