线性代数习题及答案-华工版(10)

线性代数习题及答案,华南理工大学版的

a1

k b1 bn a k b1a1 bnan） 。 m （其中

1 1 13. 设A是n阶方阵，X是n 1矩阵 ，证明：

1）AX的第i个元素等于A的第i行元素之和；

1

2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常数a，则A的每一行元素之和

也相等。

证明：1）记

a11 aA 21

an1

a12a22 an2

a1n a11 a12 a1n

a a a a2n 2n AX 2122

ann a a an2nn n1，则。

a

a

AX aX

a 2）若A的每一行元素之和等于常数a，由1） ，由于A可

11

A 1X X

a，即A 1的每一行元素之和等于常数a 。 逆，所以a 0。从而

4. 证明：

1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；

2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。 证明：1）记

A aij

n n

，

B bjk

n n

为上三角矩阵，C AB 。则i j k时，

bjk 0。对任意s，当i s时，ais 0，当k i s时bsk 0，即任意s，

aisbsk 0。从而i k时，cik ai1b1j aisbsk ainbnk 0。故上三角矩阵的aij 0

，

乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。

2）对可逆的上三角矩阵

a11 0A

0

a12a22 0

a1n a2n

ann aii 0i 1,2, ,n

，（），对

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库线性代数习题及答案-华工版(10)在线全文阅读。