线性代数习题及答案-华工版(16)

线性代数习题及答案,华南理工大学版的

l1：ax 2by 3c 0， l2：bx 2cy 3a 0， l3：cx 2ay 3b 0。 证明：这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0。

证明：1）设三条直线交于一点，则三条直线对应的方程构成的方程组有唯一解。由于三条直线不同，所以方程组的系数矩阵秩为2，故增广矩阵的秩也必须为2。即行

列式

a2b 3c

b2c 3a 6(a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2] 0c2a 3b

，故a b c 0。

2）若a b c 0，三条直线对应的方程增广矩阵的秩小于3。

a2b13

2(ac b2) 2[(a b)2 b2 0b2c24又，所以系数矩阵的秩为2。从而方程

组有唯一解。 3．已知方程组

x1 x2 2x4 6 x1 mx2 x3 x4 5 4x1 x2 x3 x4 1 nx2 x3 2x4 11 3x x x 3 x 2x t 112334 （I） 与 （II） 。

问方程组（II）中的参数m,n,t为何值时，方程组（I）与（II）同解。

解：因为方程组（I）与（II）同解，则方程组（I）与（I）、（II）联立的方程组同解。（I）、（II）联立的方程组增广矩阵为

11 4 1

3 1

1m 0n 00

0 1 1 1 11 2 10 1 2 2

6 1

0 1

3 0

5 0 11 0

t 1 0

100000 10 11 20m 20 4 n00

2

4 5

4(m 2) 4(n 4)

t 6 。

所以m 2，n 4，t 6 。

4．给定齐次线性方程组

其中

anx a11x11n 0

ax ax 0

nnn n11

，

A (aij)

的行列式

A 0

，且存在一Akt 0，若 (x1, ,xn)是方程组的任一非

xx1x

2 n

Akn 。 零解，证明：Ak1Ak2

A 0

证明：由于，且存在一Akt 0，所以齐次方程组的系数矩阵的秩为n 1，基

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