线性代数习题及答案-华工版(4)

线性代数习题及答案,华南理工大学版的

数为[(n 1) k1] [(n 2) k2] [(n (n 1) kn 1]2.由行列式定义计算

1 2 (n 1) k

n(n 1)

k2。

2xx11x1 f(x)

32x1

111x中x4与x3的系数，并说明理由。

解： 由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的n个元素的乘积。而该行

4

列式中每个元素最高含x的一次项，因此x的项只能由对角线上的元素乘积所得到

x4，故x4的系数为( 1)

(1234)

2＝2。

(2134)

3

同样的考虑可得x的系数为( 1)

＝－1。

3.设

1x1a1

P(x) 1a2

1an 1

x2a122a2 2an 1

xn 1a1n 1n 1a2 n 1an 1

，其中ai互不相同。

1）说明P(x)是一个n 1次多项式；

2）求P(x) 0的根。

n 1

P(x) A 1 A x A xP(x)11121n解：1) 把按第一行展开得：。

11

A1n

1

a1a2

a1n 2

n 2

a2

0

而 ，所以P(x)是一个n 1次多项式。 根据范德蒙行列式

P(x) (x a1)(x a2) (x an)(a1 a2) (a1 an)(a2 a3) (a2 an) (an 1 an) 2)

n 2

an 1 an 1

因为x ai （i 1,2, ,n 1）代入P(x)中有两行元素相同，所以行列式为

零，从而P(x) 0的根为a1,a2, ,an 1 。

习题二解答

1. 计算

a11 x3 a21

a 31

a12a22a32

a13 x1 a23 x2

a33 x3

x1

1）

x2

；

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