多元函数微分学的应用(新)(16)

高等数学试用于华东理工大学的学生

十三. 在它们交线上任一点处的法向量都相互垂直， 十三 .若两个曲面 Σ 1 和 Σ 2 在它们交线上任一点处的法向量都相互垂直 ，则称 这 两 个 曲 面 正 交 。 证 明 曲 面

Σ 1 : x2 + y2 + z2 = R2 与

Σ 2 : ayz + bzx + cxy = 0 正交 ( 其中常数 a , b , c , R 均为正数 ) 正交( 均为正数) .

证明： 证明： 设F ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 R 2G ( x , y , z ) = ayz + bzx + cxy则曲面 Σ 1上任意点处的法向量为 ： r n1 = { F x , F y , Fz } = { 2 x , 2 y , 2 z }则曲面 Σ 2上任意点处的法向量为 ：

r n2 = {G x , G y , G z } = { bz + cy , az + cx , ay + bx } r r n1 n2 = 2(bxz + cxy + ayz + cxy + ayz + bxz ) r r = 4(ayz + bzx + cxy ) = 0 ∴ n1 ⊥ n 2 即两曲面正交。 即两曲面正交。16

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