多元函数微分学的应用(新)(12)

高等数学试用于华东理工大学的学生

七 . 试证曲线 x = e cos t , y = e sin t , z = e 在锥面 z =t t t

x 2 + y 2 上，

且曲线上 任一点处的切线与锥面上过该点的母线夹角为 定值. 且曲线 上 任一点处的切线与锥面上过该点的母线夹角 为 定值 .

证明： 证明： 由于

x 2 + y 2 = e 2t = z 2 , z = e t > 0

所以曲线在锥面上 .连接点 M(e t cos t , e t sin t , e t )与锥面顶点 O的锥面母线的方向向量 ：

OM = {e t cos t,e t sin t,e t }

而曲线的切线方向向量 为：

τ = {e t (cos t sin t ), e t (sin t + cos t ), e t }夹角余弦： 该向量与母线方向向量 OM = { e t cos t , e t sin t , e t }夹角余弦： r OM τ 2 cosθ = r = 故结论成立。 故结论成立。 OM τ 3

r

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