多元函数微分学的应用(新)(14)

高等数学试用于华东理工大学的学生

有一阶连续偏导数， 九 . 设函数 F ( x , y , z ) 有一阶连续偏导数 ， 且 F ≠ 0 , 对任意实数

x , y , z 和 t 有 F ( tx , ty , tz ) = t k F ( x , y , z ) ( k 是正整数 ) 证明曲面 是正整数) ,证明曲面 ，

F ( x , y , z ) = 0 上任一点处的切平面都通过一个定点 . 上任一点处的切平面都通过一个定点.证明： 证明： ( tx , ty , tz ) = t k F ( x , y , z )两端求偏导数 F

xF1 + yF2 + zF3 = kt k 1 F ( x , y , z )tF 1 = t F xk

F1 = t k 1 F x F2 = t k 1 F y

tF 2 = t k F y

tF 3 = t k F z所以， 所以，

F3 = t k 1 F z

xF1 + yF2 + zF3 = t k 1 ( xFx + yF y + zFz )从而， 从而， xFx + yF y + zFz = kF14

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