交通灯数学建模(3)

使得从A出发的车经过时间t到达D路口，并且同时此刻D路口的交通灯由绿灯变为红灯，这样就可以在接下来的一个相同周期内满足上述条件下，从A出发的车都能从D处开走，不至于留到下一个周期。也就是说D的绿灯比A滞后一个t时间。从A到D的距离实测L=0.3英里，此路的限制时速为30km/h，所以严格的计算可以得出从A出发的车到D的时间t=57.6s，这是按最高的限速来计算处理得到的，而实际情况下车速不可能总是在最高限速30km/h下行驶，故时间会延长，在取此t=60s。也就是说在A红灯变为绿灯之后，在经过60秒，D处也就是c1，c2车道红绿灯由红灯变为绿灯。可以画出A和D处的放行车道即就是c1，c2车道的红绿灯相对开启时间。如图7所示：

图7 A，D路口绿灯“同步”方案

B，D路口之间的同步方案讨论方法与上述A，D之间的讨论方法相同，不同的只是L?值与L的值不一样。则：

QB?T红?23L?

??Tb?绿QB?T?QD这样可以确定出b1，b2车道的绿灯时间Tb绿L=0.2英里，可以得到t=36s，所以取t=40s

。根据BD两路口的之间的距离

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图8 A，D路口绿灯“同步”方案

根据得到的Tc绿 Tb绿，以及经验周期值T=140s，可以计算得到-Tb绿

进而也可以求的各个相位下的红灯时间Ta红，Tb红，Tc红。

2、 对于C路口的和D路口之间的联系：

根据已有的D路口的通行方式，设计C和D路口的同步方案。C路口到D路口车流形式有两种，如图9,图10所示的两图所示:

Ta绿=140-Tc绿

图9 C路口到D路口车流方式一

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图10 C路口到D路口车流方式二

C路口的相位与D路口的相位相同，分析方法类似，根据现有的模型以及实

?放行的的绿测的数据，可以分别得到孤立的C路口a?2放行的的绿灯时间Ta?绿和b1灯时间Tb?绿由模型可以得出时间T?1,T?2便是C路口孤立考虑时得到的进入CD路段最优时间，此时再根据得到的D路口的已有的时间，在考虑与AD类似的通行的

限制条件便可得出C和D路口相对应的时间联系。但是C D路口之间的联系与AB路口之间的联系类似但也存在不同之处。

与AD,BD相比，CD路口联系有两种情况存在：

情况一：优化的得到的时间T?1,T?2的和小等于D路口的a1，a2的放行时间，那么C路口的车都能顺利的且完全通过D路口，不会有车累积下，那么为了研究问题的方便，让CD路口的绿灯开启时间相差一个时间t，此段时间t便是车从C路口出发到达D路口的的时间，t=60s，便可以设计出他们的绿灯开启时间差的示意图。如图10

情况二：优化的得到的时间T?1,T?2的和大于D路口的a1，a2的放行时间，那么，就会有与AD路口之间联系相同的两个限制条件：

限制条件一，排队的车辆最大长度必须小于一个经验值

23L。假设从路口C

23L（Ta?绿?Tb?绿）?处进入到CD的车流量为Qc，D处红灯时间为Ta红，那么Qc?；

在此如果进入CD车道的车没有达到

23L。

23L，那么由于Ta红时间内也一定不能达到

?和a?2绿灯时时进入的车辆总数要能在a1，a2放行时全限制条件二，车道a1部通过，没有剩余的车辆留给下一个周期。为了更好的阐明此种限制情况，不妨设D丁字路口的周期开始时刻即为a1，a2变为红灯的时刻，那么a1，a2刚从绿灯变为红灯时刻，假设第一辆车刚从C处开到D处停下，同时依次往后累积，那么可以假设a1，a2红灯时间段累积的车辆数位m辆。下一时刻a1，a2从红灯变为绿灯，此时正常情况下CD车道上车辆总数应该减少，但是也不排除有这样的情况存在：a1，a2在放行但是车尾的长度还在增加，这是一种非正常情况，也

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就是在车流量的极大的情况下才会发生，如果发生这样的情况数学的方法将不能改善此路口的交通状况，只能通过拓宽道路来改变。假设在此不会发生此类情况，故不予以考虑。所以认为a1，a2从红灯变为绿灯，车尾长度必然减少，那么在绿灯期间从C路口开进CD的车辆总和为n，故m+n的车辆总数，可以在D路口a1，a2放行时全部通过，这样每个周期里从C开到D的车都能全部走完，不会累计到下一个周期，故在正常情况下不会造成拥堵。这样根据前面的时间优化模型，再加以考虑此处的两个限制条件，可以分别得到一个C处合理的红灯和绿灯

??，时间。假设从丁字路口a1，a2开出去的车流量为QDa1，a2的绿灯时间为Ta绿，

???Ta绿；总的周期为T，C路口绿灯的时间为Ta?绿，Tb?绿，那么QC?（Ta?绿?Tb?绿）?QD从C出发的车要到达D同样需要经历时间t=60s，故根据得到的Tc绿和Tc红优化得到的时间T?1?T?2和T?3，优先考虑限制条件得到的时间和Tc红，如果能满足孤立路口考虑时得到的优化值，则取优化值T?1?T?2和T?3，如果不能满足，则在满足限制

条件得到的值得前提下，取与孤立路口考虑时得到的优化值足够接近的值,最后

?的放行时间为T1，a?2的放行时间为T2。 的值表示为b15.2 针对问题二的模型建立及求解

在问题一中给出的模型是适用于大部分的情况（即平时车不是很多的情况

下），在一天中早晨上班和下午下班的时候车和人都比较多，在两节课之间人比较多但是车不是很多，所以把一天分为三个时段；上下班时段，两节课中间的下课时段和普通不繁忙时段。为了简化问题，认为这三个时段的交通灯周期都是一样长，只是红绿灯的时间不同。

其中普通不繁忙的时候就利用问题一中的结果，因为问题一中查找的数据就是普通情况下的数据，所以可以直接引用。

上下班时段车和行人都比较多，需要重新调查这段时间内的车尾增加速度，行人过道的最小时间需要用问题一中的式（11）调节，根据经验认为??5，最后求出红绿灯时间。

而上下课期间只是行人比平时多，车流量跟平时一样，不需要重新调查，所以只需要根据问题一中的式（11）调节行人过道的最短时间，也认为??5，在问题一的基础上改一下数据，重新计算红绿灯的时间。 5.3 针对问题三的模型建立及求解

从谷歌地图中可以看到康奈尔大学远离人口密集的地区，这是它最重要的方面之一。两个峡谷对通过校园有着显著的影响，特别是对车辆的影响。从北部进入校园必须横跨瀑布溪的桥梁。从伊萨卡市中心到达校园的车被限制在两条路径上，西面陡峭的山坡限制车辆从西面进入校园。从东部和东南部进出校园的车限制较少。校园的街道适合所有类型的车辆通行（对车辆负载有要求除外）。从康奈尔大学官网中得知，学校大力倡导步行，并建设了校园步行网络。

而且在美国，车是让着行人的，所以在没有安装交通灯之前，在交叉路口处只要有行人过马路则车一定要先让人，行人可以自由通过。而安装完交通灯之后，行人在过马路时要遵守交通规则，肯定会比没有安装交通灯时候要耽误一些时

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间，而车在过马路时不必要再让着行人，只需要按照交通灯的指示。

所以无论在一天中的哪个时间段，对于行人肯定会耽误一些时间，而对于车则会比原来节省一些时间。基于以上的原因，我们认为车不会改路线，而人要根据改路线所需要的时间和耽误的时间相比较来确定是否改换路线。图11是在康奈尔大学官网上查找的图片，根据图片可知人们要到一个地方可以有很多条路线，这其中肯定有一条是最短的，但是其他的路线的距离与最短路线的距离可能很接近，所以行人需要比较一下走最短路线时候的时间和耽误的红灯时间的和与走其他路线用的时间哪个更短些。如果走其他路线用的时间短，则行人会转向其他的路线，如果走其他路线的时间长，则不会转向其他的路线。此外，我们通过查阅资料，得知美国人过道时候主要会考虑两点原因，一是绿灯的时间是否足够长让他们通过，二是红灯时间是否过长，他们忍受的红灯时间只有50s，如果等待时间超过50s可能也会改变路线，所以行人是否变换路线的主观因素很多，只能给出以上相对可能的模型。

图11 人行道网络图

5.4 针对问题四的模型建立及求解

按照问题二中把一天分成三种情况来讨论，在每种情况下分别考虑车辆交通的流动效果：

第一种情况，在上班和下班时段，此时车和行人都比较多，在没有安装交通灯时候，当很多行人过马路时车都要让着行人先过，所以这时候交通肯定会堵塞。而当安装完交通灯之后，在过马路时候因为有交通灯，所以即使有行人过马路也不用让着行人，只需要按照交通灯的指示行驶。虽然车比较多，但是相应的绿灯时间是根据车流量安排的，所以车辆不会拥堵，即安装完交通灯之后比原来的效果更好。

第二种情况，在两节课中间的时段，此时车不是很多，但是人很多，图12是在康奈尔大学的官网上查找到的在两节课中间行人通过塔路和东大道交叉路口时候的图片。从图12中可以看出在两节课中间通过塔路与东大道交叉口的行人特别多，而且车辆都是让着行人通过，还可以推测出在上下班时段行人也会这么多或者还要多。在没有安装交通灯时候，当很多行人过马路时车都要让着行人

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