交通灯数学建模

驾车通过校园

一、 摘要

本文通过对康奈尔大学交通路况以及在不同时间段人流量和车流量的调查，建立适当的优化模型着重解决六个问题中的四个问题。

问题一中，首先提出车辆尾部增长速度的概念，建立一个目标函数，使得一个交通周期内积累的车辆长度最小，并以行人通过人行道的最短时间为约束条件，然后求解出一个交通周期的红绿灯时间。为了简化问题，让四个路口的交通灯周期都一样长，用同样的方法计算其他三个路口的红灯绿灯时间，通过路口的距离再计算出绿灯的时间间隔，并对绿灯时间进行细微调整。

问题二中，根据经验把一天分成三个时段：其一是上班和下班时段，其二是上下课时段，其三是大部分时段。每一个时段的车流量和人流量都不同，对于不同的车辆尾部增长速度和行人过道时间，把相应的数据带入到问题一中的模型，即可得出不同时段的红绿灯时间。

问题五中，行人耽误的时间为等待红灯的时间，用所有行人等待红灯的时间除以行人的总数即可得出普通人平均耽误的时间。在此基础上分成两种情况讨论，一种是等待过人行道的行人数少于绿灯一次可以通过的人数，此时耽误的时间为零，另一种是行人数多于绿灯一次可以通过的人数，此时分成几个批次，求出总耽误时间，再除以总行人数进而求出普通人平均耽误的时间。

问题六中，假设行人是连续不断的，并且认为人行道足够宽是保证本次红灯和绿灯等待的行人在下一次绿灯的时间内都能通过，根据经验估计了行人过道时的前后距离和左右距离，列出等式求出人行道宽，再与现在的人行道宽比较即可知道是否足够宽来容纳等待过马路的人。

问题三和问题四只是用语言详细的叙述了一下，没有给出具体模型，这两个问题没有重点解决。

关键词：交通灯； 优化模型； 车尾增加速度； 行人过道

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二、 问题重述

East Ave. & Tower Rd. is one of the busiest intersections on Cornell campus, with a fair amount of vehicular and pedestrian traffic. Your team is contracted to study the likely consequences of installing a traffic light at that (currently, a 3-way-stop) intersection. ? Find a good way to “synchronize” the new traffic light with the three existing ones (at the Thurston Ave Bridge, at Garden Ave. & Tower Rd., and at Central Ave. & Campus Rd.)

? Suggest several different possible modes / synchronization programs based on the time of the day. (E.g., note that on weekdays the pedestrian traffic spikes in between classes.) ? Will some of the motorists (or pedestrians) switch to alternative routes once this traffic light is installed?

? Will the resulting vehicular traffic flow become more efficient than it is at present?

? How much of a delay would this plan add for an average pedestrian at this intersection?

? Assuming that the majority of pedestrians will follow the rules, are the sidewalks near that intersection wide enough for the crowd waiting to cross the road?

三、 问题分析

3.1 针对问题一的分析

本问题主要目标是要通过分析康奈尔大学的交通状况，在交叉路口设置一个交通灯与已经有的三个交通灯同步，让校园内的交通更加顺畅。由于没有找到已经有的三个交通灯的亮暗情况，所以设计了这四个路口的交通灯亮暗规律。这四个交通灯之间是相互影响的，只有把一个路口的交通灯的规律确定下来才能确定其他三个交通灯的规律，根据康奈尔大学的地图可知，塔路和东大道的交叉口处于四个交通灯位置的中心，所以先把这个路口的交通灯的规律确定下来，然后再确定其他三个交通灯的变化规律。在塔路和东大道的交叉口处有一个方向的路是通往一个小区的，道路非常窄，而且往这条路走的车也特别少，所以把这个路口看出丁字路口。首先以校园的交通最大限度通畅为目标，这里交通最大限度通畅的定义是一个交通周期内积存车辆的最大可能长度达到最小，道路条件、行人通过马路等条件为约束，建立优化模型解决孤立丁字路口的交通灯的安排问题。再根据其他三个交通灯与这个交通灯之间的距离和车速确定其他三个交通灯的变化规律。

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3.2 针对问题二的分析

在问题一的中给出的模型是适用于大部分的情况（即平时车不是很多的情况下），在一天中早晨上班和下午下班的时候车和人都比较多，在两节课之间人比较多但是车不是很多，所以把一天分为三个时段；上下班时段，两节课中间的下课时段和普通不繁忙时段。其中普通不繁忙的时候就利用问题一中的模型，上下班时段车和行人都比较多，而上下课期间只是行人比平时多，车流量跟平时一样，所以只需要在问题一的基础上改一下数据，重新计算红绿灯的时间。 3.3 针对问题三的分析

通过查找资料了解到，在美国过马路的时候车辆是让着行人的，所以在没有安装交通灯之前，在交叉路口处只要有行人过马路则车一定要先让人，行人可以自由通过。而安装完交通灯之后，行人在过马路时要遵守交通规则，肯定会比没有安装交通灯时候要耽误一些时间，而车在过马路时不必要再让着行人，只需要按照交通灯的指示。所以无论在一天中的哪个时间段，对于行人肯定会耽误一些时间，而对于车则会比原来节省一些时间。并且通过上网找的资料了解到车从校外进入学校的中心时必须要经过题中放置交通灯的那些路，所以车不会在改路线，而人要根据改路线所需要的时间和耽误的时间相比较来确定是否改换路线。

3.4 针对问题四的分析

在没有安装交通灯时候，当很多行人过马路时车都要让着行人先过，所以这时候交通肯定会堵塞。而当安装完交通灯之后，在过马路时候因为有交通灯，所以即使有行人过马路也不用让着行人，只需要按照交通灯的指示行驶。而且从行人的角度分析，当没有交通灯时，行人过马路不受任何限制，而在安装完交通灯之后，行人过马路的时候要受到红灯的限制。所以从这两点分析，车辆交通的流动肯定比原来的会好些，但是行人多的时候行人流动肯定会受到堵塞，行人少的时候行人的流动效果跟原来基本相同。

3.5 针对问题五的分析

因为在没有交通灯时候，行人在过交叉路口时候不用等，可以直接通过。而安装完交通灯之后，行人在绿灯的时候可以通过，在红灯的时候则要等一段时间。但是在一天中的不同时间段等待的时间不一样，因为人少的时候，所有等待过马路的人在绿灯的时候都能通过。但是在行人比较多的时候，因为斑马线的宽度和绿灯的时间都有限，所以在绿灯的时候可能只能通过部分行人，其他行人可能还要等一个或者几个红灯。于是在这个问题上分为两种情况讨论：第一种情况是大部分时间人比较少的情况，第二种情况是上下班还有两节课之间人比较多的情况。第一种情况认为大部分人可以顺利通过不耽误时间，第二种情况可以用所有人耽误的时间与总人数的比值来估计对于普通行人耽误了多长时间。

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3.6 针对问题六的分析

因为问题六是假设大部分人都遵守交通规则，判断道路是否足够宽来容纳等待过马路的人，此题认为行人是连续不断的，而且行人在过马路时都自觉排队通过。在红灯和绿灯都会有行人排队等待，要让行人能顺利通过（即行人等待的最多时间是一个交通周期），则需要在绿灯的时间内通过上个周期全部绿灯时间内等待的行人和上个周期全部红灯时间内等待的行人，这样道路才是够宽的。根据调查的行人排队时候的人流量还有交通灯的周期以及绿灯亮的时间，还有估计的行人过人行道时候的速度以及人与人之间前后距离和左右距离，根据这些可以计算出道宽，将得出的道宽再与现在的道宽相比较来判断人行道是否足够宽。

四、 模型假设及符号说明

4.1 基本假设

1. 通往路口的所有车辆长度完全相同（约5米）；

2. 同一转向的车通过交叉口的平均速度相同，通过路口所用时间相同； 3. 路口处不发生事故；

4. 所有司机和行人遵守调度规则；

5. 不考虑黄灯的影响，将黄灯时间假设为4秒，算到绿灯里面；

6. 路口是右转可以直接通行而不影响人行道； 7. 信号灯转绿灯时，车发动时间忽略不计。 4.2 符号说明

Ui：在

i=1,2,3时分别为a1、b1、c1在遇到红灯后的停止车队尾部增长速度；

?：在i=1,2,3时分别为a1、b1、c1的绿灯时间； TiTi：在

i=1,2,3时分别为a1、b1、c1的红灯时间；

五、 模型建立及求解

5.1 针对问题一的模型建立及求解

首先研究在塔路和东大道的交叉处的路口，为了简化问题，把该路口看成是丁字路口。分析交通路口的堵塞程度，主要参量是路口积存车辆的长度。均匀车流在遇到红灯后会产生长度不断增长的停止车队，记停止车队尾部的增加速度为Ui，则时间t内总积存车辆长度为Ui×t。下面的讨论将直接基于Ui，首先建立了塔路和东大道路口的交通灯时间安排优化模型，此部分以使单位时间内积存车

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辆的最大长度最小为目标，以交通经验、行人可以通过人行道等条件为约束条件建立优化模型。因为这个模型对十字路口和丁字路口都适用，在其他三个路口的时候也用这个模型，然后讨论了其他三个路口与该路口的联系，因为其他三个路口都在塔路与东大道交叉路口的两侧，而且从谷歌地图上可知其他三个路口和塔路与东大道的交叉路口离的都很近，所以要车流的“下游”积存的车辆至少不能超过它和“上游”路口之间的距离，否则，两个路口间的车辆会互相影响，最终造成交通混乱。在最后讨论上面两个模型的稳定性及改进方向。

图1 丁字路口交通示意图

在此路口加装红绿灯，首先需要分配各个路口的车流人流顺序，即就是合理的安排不同的相位。相位设计的合理与否将直接影响路口的通行效率，相位太少即同时通过的车流人流方向较多，容易发生交通拥堵。相位太多则会出现放行车道的车早已通行完。未放行的车道，堵的车较多，总的来讲，使得整个交通路口的通行效率降低。根据康奈尔大学的实际情况，此丁字路口的车道为双向单车道，即在路口处没有分设的右行车道和直行车道，所以到此路口的车辆无论是直行还是转弯都必须一字排开依次通行。综合起来看，将此丁字路口设计为三个相位，如图2

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