系统工程常用预测方法和模型(8)

q(1)(t?1)?(q(0)(1)?uqaq)e?aqt?uqaq

对模型的修正项求其导数形式：

?(t?i)(?aq)(q(1)?(0)uqaq)e?aqt式中

?(t?i)???

1 当t≥I时

? 0 当t＜I时

(1)?(1)(t?1)q(t?1)的导数之和，即： X修正后的模型为的导数和

u?(0)(t?1)??a(X(0)(1)?u)e?at??(t?i)(?a)(q(0)(1)?q)e?atXqaaqq或：

综上所述，GM（1,1）模型实质上是采用线性化方法建立的一种指数预测模型。因此，

当系统呈指数变化时，预测精度较高。

uu?(1)(t?1)?(X(0)(1)?u)e?at?u?(q(0)(1)?q)e?at?qXaaaqaq

q4.7.2 GM（1,1）预测模型的应用 4.7.2.1 数列预测模型

某公司销售额数据见表4.7.2

表4.7.2 1985 1986 年份 1987 1988 1989 1990 685.2 434.5 470.5 527.5 571.4 626.4 销售额 现建立GM（1，1）预测模型并预测1991，1992年销售额。 初始时间序列：

X(0)={434.5,470.5,527.6,571.4,626.4,685.2} 第一步：求累加生成数列

X(1)={434.5,905,1432.6,2004,2630.4,3315.6} ??(a,u)T 第二步：用最小二乘法求参数a

? 1 (1

) ) ) ( ? X (12 )) ? ? 2 ( X (1

? 1

) ( ) (3? ? ( X (12 ) ? X (1 )) 2 ?

1 ) ) ( ? ( X (1B ? ?( 3) ? X (14 )) ? 2 ? 1

) ( ) ( 4 ) ? X (15)) ? ? ( X (1

2 ?

? ? 1 ( X (1 ) ( ) ( 5) ? X (16 )) ? ? 2 ?

1? ? 1? ? ? 1? ? 1? ? 1? ??

?669.751?1168.81? ?1718.31. ?2317.21?29731YN=(470.5, 527.6, 571.4, 626.4, 685.2)T

?=(BTB) -1BTYN得 代入a因X(1)(1)=434.5得：

??0.0916????a?414.0736????

uuX(1)(t+1)=( X(1)(1)-a)e-at+a

=4953.04815e0.0916t-4518.54815 第三步：检验

检验结果见表4.7.3，由表可见精度较高，模型可用。

表4.7.3 年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990

检验数表 还原数据 ?(0) X按模型计算 （）数据X1 434.5 909.8 1430.8 2001.7 2627.5 3313.3 原始数据 X(0) 绝对误差 0 -4.8 6.6 0.5 0.6 -0.6 相对误差% 0 1.0 1.25 0.08 0.095 0.087 434.5 475.3 521.0 570.9 625.8 685.8 434.5 470.5 527.6 571.4 626.4 685.2

第四步：建立灰平面。

假设该公司生产受生产能力的限制，每年销售额的增长量不超过70万元，但不低于20万元，该公司最高生产能力的销售额为800万元，最低为600万元，故灰平面为：

上界：Xmax(t+k)=X(1)(t)+kδ

(1)(1)Xmax(6+k)=3315.6+70K

(1)max

max

当t=6时，Xmax(6+k)=X(1)(6)+kδ

(1)下界：Xmin(t+k)=X(1)(t)+kδmin=3315.6+20K 第五步：预测1991、1992年销售额

?1991年： X(1)

(6+1)=4953.04815e0.09166-4518.54815=4062.9

×

(8)= 4886.1-(3313.3+749.6)=823.2

由预测值可见，X(8)=823.2，比X(0)(7)高73.6万元，超过增长限度，故应取增长值的最高限749.6+70=819.6万元，但该值超过该公司最大生产能力，故最终预测值为800万元。

(0)

?X?1992年： X?X(0)

(1)

(7)= 4062.9-3313.3=749.6

×

(7+1)=4953.04815e0.09167-4518.54815=4886.1

(0)

4.7.2.2 灾变预测

某企业生产用原料属受自然灾害影响较大的农产品。一般来说，自然灾害的发生有其偶然性，但对历史数据的整理，仍可发现一定的规律性。为确保生产不受自然灾害的影响，该企业希望了解影响原料供应的规律性并提前作好原料储备，所收集数据如表4.7.4并规定每亩平均收获量小于320kg时为欠收年份，将影响原料的正常供应，现应用灰色灾变预测来预测下次发生欠收的年份。

表4.7.4 原料收获统计表 年份 收获量kg 年份 收获量kg 1984 390.6 1993 300 1985 412 1994 632 1986 320 1995 540 1987 559 1996 406.2 1988 380 1997 314 1989 542 1998 576 1990 553 1999 587 1991 310 2000 318 1992 561 第一步 将上表中年份用序号替换，并找出收获量小于320kg的年份序号形成初始序列ω(0)。

本例初始序列ω(0)={3，8，10，14，17} 累加生成序列ω(1)={3，11，21，35，52} 第二步 按ω(1)建GM（1，1）模型

?1(1)(1)?(?(1)??(2))?2?1??(?(1)(2)??(1)(3))B??2??1(?(1)(3)??(1)(4))?2?1(1)(1)??(?(4)??(5))?2?1????71??16????1???28????43.51??1?1??1??1?

?YN=（8，10，14，17）T

?=(BTB)-1BTYN=(-0.25361 6.258339) T ?uu模型为: ω(1)（t+1）= (ω(0)(1)-?)e-at+?

0.25361t

=27.67702e

-24.67702

?当t=5时，?(1)(6)=73.6848

?(6)=73.6848-52=21.6848 ?下次发生收获量小于320kg的年份为：97~98年，因按年份序号预测应为21.6848，即21或22号，现最后序号17对应1993年，故21-17=4，22-17=5，即四、五年后将出现收获量小于320kg的可能。

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