系统工程常用预测方法和模型(4)

l11??(X1i?X1)(X1i?X1)??(X1i?X1)2?0.08iil12??(X1i?X1)(X2i?X2)?0.03il21??(X2i?X2)(X1i?X1)?0.03i

il22??(X2i?X2)(X2i?X2)??(X2i?X2)2?0.277il10??(X1i?X1)(Yi?Y)?0.08il20??(X2i?X2)(Yi?Y)?0.21i

??0.03b??0.08??0.08b12????0.03b1?0.277b2?0.21 ∴正规方程为?或

???0.08??0.080.03??b1?0.030.277??????0.21??b2???????

（2） 求解正规方程和b0

???方程组求解结果为：b1?0.7461，b2?0.6769，代入4.3.39式后，得出

??1.3956b0。

（3） 建立模型

根据所求系数，预测模型为：

???1.3956?0.7461YX1?0.6769X2

当给定X1、X2，即给定劳动量和木材消耗量时，可预测木器生产的总成本。如

X1?4、X2?3时，总成本Y的预测值为：

???1.3956?0.7461?4?0.6769?3?3.7（千元）Y。

4.3.3.2 多元线性回归分析

多元线性回归分析是研究系统在多个因素的影响下，建立系统总体变化规律预测模型的方法。现在二元回归分析的基础上将其推广，即可得到多元线性回归分析的一般方法。

多元线性回归模型的一般形式是：

(4.3.43)

该方程是m+1维空间的一个超平面，所以它为Y对X的回归超平面方程。 由4.3.39式可知，如果当自变量数由两个增加到m个时，b0的求法可推广到：

?X?b?X???b?X?Y?bb0?Y?b??kXk1122mmk?1m??b?X?b?X???b?X??bY01122mm

(4.3.44)

正规方程组的系数，即L矩阵的元素Lkj为：

lkj??(Xki?Xk)(Xji?Xj)i?1m

正规方程的常数项，即L0向量为：

lk0??(Xki?Xk)(Yi?Y)i?1n

求解正规方程组，即可确定b1，b2，??，bm，代入4.3.45式，求出b0，从而得到预测模型：

??????b?X?b?X???b?X??bY01122mm

4.3.3.3 多元线性回归模型的检验

多元线性回归模型也和一元线性回归分析一样，需要检验模型的适用性。检验的基本思想是，首先对整个多元回归模型进行显著性检验。因多元线性回归分析中自变量的数量多，因此，在总的显著性分析的基础上，还需分析哪些因素对因变量的影响大，哪些因素影响小，哪些可以忽略不计，最后再确定它的区间估计值。

1 全相关系数 多元分析与一元分析相比，一元分析是多元分析在变量数为m=1时的特殊情况。因此，其分析的公式也有相似之处。

多元分析的平方和分解公式仍为

Lyy?U?Q（回归平方和与剩余平方和）

i其中：

经推导得：

??Y)2U??(Yi?lU??bkk0im；

?)2Q??(Yi?Yii

mk

(4.3.46)

?Q?Lyy?U?Lyy??lk0bk剩余标准差：

(4.3.47)

mQ1?)Sy??(Lyy??lk0bkn?m?1n?m?1k

(4.3.48)

相关系数：

(4.3.49)

这里R是衡量整个回归效果的数量指标，称全相关系数，其含意与一元线性回归分析中相关系数r完全一致。

2 回归显著性检验（用F检验）

QUR?1?R?LyyLyy，即

2???若回归无意义，即b1?b2???bm?0，

n?m?1R2F???F1??(m,n?m?1)2m1?R则：

否则：F?F1??(m,n?m?1)。

(4.3.50)

由此式可见当m=1时，就是一元线性回归时的公式4.3.17。

在整个回归显著的基础上，多元分析还必须对多元回归系数进行分析，也就是判断每个自变量与因变量的显著性。因为在多元回归分析中经常出现Y与自变量总体有相关关系，但Y与某个个别自变量Xi可能无关，也就是说，Xi对Y并不起作用或它的作用已被其它Xj所代替。进行这步分析可确定出对Y影响较大的因素和影响较小或没有影响的因素，以决定应该把哪些因素包含在预测模型中，把哪些因素从所确定的模型中

剔除，以便建立一个更简单、更适用、更方便的预测模型。

其检验采用t-检验法：

tk??bkCkk?Sy

(4.3.51)

?1其中：Ckk为正规方程系数矩阵L的逆矩阵L中对角线上的元素。如果：

tk?t1?a(n?m?1)2

则认为Xk对Y有作用，否则无作用，应予以剔除。

从多元线性回归模型中剔除某个影响不大的因素Xk（有时需要研究剔除某个影响

??比较大的因素），是在bk?0的假设下，由t检验确定的，但是决不能从预测模型中以bk?较小为理由简单地删除bkXk项。因为当剔除某一因素后，相当于从原始数据中去掉了这一因素所对应的所有数据，这必导致回归模型的变化，故需重新配合方程。为了避免复杂的计算，数理统计学为我们提供了一个不需重新配合方程的计算公式和算法。其算法如下：

设剔除因素之前的回归模型为：

??b?X?b?X???b?X??bY01122mm

剔除因素后，新回归模型为：

?*?b?*X?b?*X???b?*X?b?*X???b?*X??bY01122i?1i?1i?1i?1mm

则

?*?b??Cijb?bjjiCiij?1,2,?,m;j?i

j?i

?1其中：Cij为L矩阵中相应元素。

当因素剔除后，回归方程变成了新形式，回归平方和也发生了变化。我们把剔除某因素后，回归平方和所发生的变化叫偏回平方和。

?*?Y?bb??*jXj0原回归平方和

?lU??bkk0k，剔除因素后的回归平方和

?*lU???bkk0k?i，则剔除第i个

因素Xi的偏回归平方和为：Ui?U?U?。由数理统计学知：

?2bUi?U?U??kCii

(4.3.53)

由上述可知，回归平方和U体现出所有变量对Y的影响，而偏回归平方和Ui则体现出第i个因素单独对Y的影响。如果因素Xi对Y的影响大，则Ui大，反之则小。 公式4.3.52、4.3.53提供了在一次回归之后，重新进行回归计算的方便条件，可使计算工作大大简化。

在剔除因素得到新模型之后，再经过检验，直到所有剩下的因素都通过t检验为止，即可确定回归系数的区间估计。

其计算公式为：

dk?t1?a2(n?m?1)Ckk?Sy (4.3.54)

??区间为： (bk?dk,bk?dk)

(4.3.55)

?????在X1,X2,?,Xm给出确定值之后，根据Y?b0?b1X1?b2X2???bmXm可预测出Y

值，但尚需估计误差范围。一般采用剩余标准差Sy的二倍，即可保证??0.05的置信度。 故Y的估计误差为：2Sy，区间为：(Y?2Sy,Y?2Sy)。

现举例说明多元回归预测的方法和步骤。 某建筑公司认为平均造价与工程结构有关，现对13个建筑公司高层建筑造价进行调查得表4.3.5，现该公司准备根据该资料建立快速报价估算模型。

表4.3.5 工程编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 平均值 机械化施工 比重 （%） 10 11 21 1 1 3 2 7 1 11 11 7 11 7.462 主体结构工程量 比重 （%） 68 66 47 40 31 71 54 26 29 56 31 52 55 48.154 基础工程量 比重 （%） 8 9 4 23 22 17 18 6 15 8 8 6 9 117.69 装饰工程量 比重 （%） 12 12 26 34 44 6 22 60 52 20 47 33 22 30.000 平均造价 （万元） 109.4 113.3 115.9 83.8 72.5 102.7 93.1 78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 95.423 设每千平方米的平均造价为Y，影响平均造价的因素为：机械化施工量的比重X1，主体结构工程量的比重X2，基础工程量的比重X3，装饰工程量的比重X4。 该公司平均造价预测模型的一般形式为：

??b?X?b?X?b?X?b?X??bY011223344

其模型建立过程为：

1、求L矩阵，建立正规方程组

根据

lki??(Xki?X)(Xji?Xj)i和

lk0??(Xki?Xk)(Yi?Y)i

251.08?372.62?290.00??415.23?775.96??251.08?22922905.69?166.54?3041.00?.95?????L?L0???372.62?166.54??618.23?492.3138.00?????.0038.003362.00?；.70? ??290.00?3041??2481得：

正规方程组为：

????415.23b1+251.08b2-372.62b3 -290b4=775.96

251.08b1+2905.69b2-166.54b3-3041.00b4=2292.95 -372.62b1-166.54b2+492.31b3 +38.00b4=-618.23 -290.00b1-3041.00b2 +38.00b3+3362.00b4=-2481.70

?????????????2、 求解正规方程组和求b0 求解结果为： ??1.5511b???b1，2?0.5101，b3?0.1019，b4??0.1441；

根据

??Y?bb??kXk0k，求得b0为：

???62.4062b0 3、 建立预测模型 预测模型为：

Y=62.4052+1.5511X1+0.5101X2+0.1019X3-0.1441X4 4、 回归显著性检验

?l?2667LYY??(Yi?Y)2?2715.76U??b.84kk0ik UR2?LYY为： R2=0.9824，R=0.9911， 全相关系数

采用F检验，求临界值F?和F。

F1??(m,n?m?1)?F0.95(4,8)?3.84

n?m?1R2F???111.3m1?R2，F>F?，故回归显著。

5、 各回归系数检验

剩余平方和Q和剩余标准差Sr为：

Q?LYY?U?47.92，

Sr?Q?2.447n?m?1。

L-1矩阵对角线上元素Ckk为：

C11=0.09276，C22=0.08761，C33=0.09526，C44=0.08408。 将上述数据代入4.3.51式：

??bb12t1??2.081t2??0.7043C22?SyC11?Sy，

??bb34t3??0.1349t4???0.2031C33?SyC44?Sy， 查t分布表，当??0.1时t0.95(n?m?1)?1.860，只有b1显著不为零。

6、 剔除因素

因ti中，t3=0.1349最小，故将X3剔除。按4.3.52式：

???b??C13b??1.4519b113C33???b??C23b??0.4161b223C33???b??C43b???0.2365b443C33???Y?b??X?71.6482b 故新回归方程（预测模型）为：

??71.6482?1.4519X?0.4161YX2?0.2365X4 1j?k0?jj?2bU3?3?0.1090C33偏回归平方和U3为： 新预测模型的回归平方和U??U?U3为：

可见X3的影响很小。如此可一直进行到所有因素均显著为止。但需注意的是每剔

U??2667.84?0.1090?2667.73

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