系统工程常用预测方法和模型(7)

(2) 季节性周期变化St， 序列在一年中随季节呈现有规律性的周期性变化； (3) 循环变化Ct， 序列以不固定的周期呈现出的波动性变化； (4) 随机变化εt， 各种不确定因素作用下的无规则变化。

4.6.1.2 时间序列模型

时间序列模型分为加法模型和比例模型两类， (1) 加法模型

加法模型理论认为时间序列是长期趋势Xt、季节性变化St、循环变化Ct以及随

机变化εt四种变化的叠加，故模型形式为：

yt=Xt+St+Ct+εt

（2）比例模型

比例模型理论认为，时间序列的形成是以趋势变化Xt为主干，其他变化均是对趋

势变化的修正，故模型形式为：

yt=Xt·St·Ct·εt

4.6.1.3 时间序列分析的内容

时间序列分析的内容见表4.6.1

表4.6.1 时间序列分析的内容 内容 方法类别 方法 简易移动平均法 移动平均法 趋势分析 指数平滑法 加权平均法 趋势修正移动性系数法 二次移动平均数法 指数平滑法 二次指数平滑法 三次指数平滑法 季节性变化分析 季节性分析法 简易季节性分析法 周期图分析法 自回归分析（AR） 平衡随机序列分析法 移动平均分析（MA） 自回归移动平均分析（ARMA） 随机变化分析 （周期分析、随机分析） 4.6.2 趋势预测 4.6.2.1 移动平均数法

时间序列x1，x2，??，xt，??，有

xt?xt?xt?1???xt?N?1N， t≥N ，N为移动平均的期数。

xt为时间序列的移动平均数序列，记为{x，t≥N }。

移动平均数序列与原时间序列相比，前者比后者平滑，它是滤除了原序列的某些干扰

后的结果，因此更能体现出原序列的趋势变化。

按趋势递推原理，以xt作为t+1期的预测值即yt?1?xt， 可得预测模型：

yt?1?xt?xt?xt?1???xt?N?1N

4.6.2.2 加权移动平均数法

用移动平均数进行预测是将各期数据的重要性等同对待，如果考虑各期数据的重要性，对每个序列值乘以加权因子，则时间序列的加权平均值序列为：

xt?a0xt?a1xt?1???aN?1xt?N?1??0xt??1xt?1????t?nxt?n?1N

N?1?式中?i为加权因子，应满足i?1?i?1。

?t 以xt作为下一期预测值，即yt?1?x则预测模型为：yt?1??0xt??1xt?1????N?1xt?N?1

该模型既可体现对原始数据的平滑，又考虑了原序列各期值的重要性程度，预测结果一般比只考虑趋势的移动平均数法更接近实际。

由上述模型可见，预测值yt?1是由N期数据按一定比例组成的，一般情况下，近期数据对预测值的影响大，?应选较大的值，历史上远期数据对预测值的影响小，?应选较小的值。

现以某房地产开发公司某年商品房销售数据为例，用两种预测方法预测下年度一月份销售量。（见表4.6.2）

表4.6.2 移动平均数法和加权移动平均数法预测 时间（月） 1 销售量 移动平均法N=3 移动平均法N=4 加权移动平均数法 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 18 15 12 20 25 24 26 25 28 26 29 26 15.0 15.7 19.0 23.0 25.0 25.0 26.3 26.3 27.7 27.0 16.3 18.0 20.3 23.8 25.0 25.8 26.3 27.0 27.3 14.0 16.5 21.2 23.7 25.2 25.2 26.7 26.5 27.8 27.0 注:加权移动平均法中 N=3, a0=1.5, a1=1, a2=0.5。 4.6.2.3 修正移动平均数法

当时间序列呈现增长或减少趋势时，采用移动平均数法将产生滞后现象。产生滞后的原因为：

假设时间序列呈线性增长趋势，则方程为：

yt = a + bt

当t增加至t+N时 ，序列值为yt+N=a+bt+Nb 但采用移动平均数法预测时，预测值为：

1N(1?2???N)N?1yt?N??yt?i?a?bt?b?a?bt?bNi?1N2

N?1N?1Nb?b?b22二者之差为：

N?1b2故在t+N期，移动平均数法的预测值滞后了。

为了消除移动平均数法预测所产生的滞后，应在移动平均数法预测值的基础上，以

N?1b2为修正量对移动平均数预测模型进行修正，故得修正移动平均数法预测模型：

yt?xt?yt?k其中： yt——第t期预测值，xt——第t期移动平均数

N?1bt2 ?yt?kbt

bt——第t期平均增长量，应取移动平均数计算期内的平均增长量。

bt的计算按线性回归公式

b?n?xiyi??xi?yin?xi2?(?xi)2计算，为使其计算简化，可使

?tii?0b?i，而使用简化公式。

如上例，预测下年度1月份和5月份销量：

?ty?ti2ii当N=3时，x1?27

b1??1?26?0?29?1?26?01?0?1

y1?27?3?1?0?272 y1?4?27?4?0?27

b1?(?3?28?1?26?1?29?3?26)?2??0.3(?3)2?(?1)2?(1)2?(3)2

当N=4时 ，x1?27.3

y1?27.3?（注意：当N=4时，为使

时应乘以2。）

3?1?0.3?27?1?4?27?0.3?4?25.8 2 y?ti?0i，选t1=-3 t2=-1 t3=1 t4=3，间隔为2，故计算b1

4.6.2.4 指数平滑法

对时间序列xt，若预测值按

计算，则该预测法叫指数平滑法，其中?为平滑系数且0≤?≤1。

由上式可见，当期预测值是由当期实际值和上期预测值按比例构成的或是由上期预测值与上期预测误差的修正值构成的。

把上式展开，将有助于对该方法的深刻理解：

yt??xt?(1??)yt?1??xt?(1??)[?xt?1?(1??)yt?2]

??xt??(1??)xt?1?(1??)2yt?2

??xt??(1??)xt?1?(1??)2[?xt?2?(1??)yt?3]

yt??xt?(1??)yt?1 或 yt?yt?1??(xt?1?yt?1)

??xt??(1??)xt?1??(1??)2xt?2?(1??)3yt?3

?????xt??(1??)xt?1??(1??)2xt?2??(1??)3xt?3???

由展开式可见：

① 如?=1预测值取当期实际值，?=0取时间序列的初始值； ② 预测值是由时间序列值按一定比例构成的，因0≤?≤1，故近期数据占的比重大，距预测期远的数据比重小，当数据量很大时，初始数据对预测值的影响甚微，?取值大，近期数据占的比重越大，?取值小，近期数据占的比重越小；

③ ?值的大小，影响预测值，?大，更贴近原序列，但滞后小，?小更平滑，滞后大。

④ 预测值实质是历史数据的加权平均数，且权数按指数变化，因此该方法叫指数平滑法，是一种特殊的加权移动平均数法。

4.7 灰色预测——GM（1，1）模型

4.7.1 灰色预测的基本原理

时间序列预测是采用趋势预测原理进行的，然而时间序列预测存在以下问题： （1）时间序列变化趋势不明显时，很难建立起较精确的预测模型；

（2）它是在系统按原趋势发展变化的假设下进行预测的，因而未考虑对未来变化产生影响的各种不确定因素。

为克服上述缺点，邓聚龙教授引入了灰色因子的概念，采用“累加”和“累减”的方法创立了灰色预测理论。

4.7.1.1 GM（1，1）模型的基本原理

当一时间序列无明显趋势时，采用累加的方法可生成一趋势明显的时间序列。 如时间序列X(0)={32,38,36,35,40,42}的趋势并不明显，但将其元素进行“累加”

(1)

所生成的时间序列X={32,70,106,141,181,223}，则是一趋势明显的数列，按该数列的增长趋势可建立预测模型并考虑灰色因子的影响进行预测，然后采用“累减”的方法进行逆运算，恢复原时间序列，得到预测结果，这就是灰色预测的基本原理。

4.7.1.2 灰色预测的类型

灰色预测是基于灰色预测模型GM（1，1）的预测，按其应用的对象可有四种类型： （1）数列预测 这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测；

（2）突变预测 这类预测是针对系统行为的特征值超过过某个阈值的异常值将在何时出现的预测；

（3）季节突变预测 若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，则该预测为季节性突变预测；

（4）拓扑预测 这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测。

4.7.1.3 GM(1，1)模型的建立方法和步骤

设：原始时间序列为X(0)={x(0)(1), x(0)(2),??, x(0)(n)} 其累加生成序列为X(1)={x(1)(1), x(1)(2),??, x(1)(n)} 按累加生成序列建立的微分方程模型为：

dX(1)?aX(1)?udt

其解的离散描述形式为：

确定了参数a和u后，按此模型递推，即可得到预测的累加数列，通过检验后，再累

减即得到预测值。

其步骤如下：

（1） 由原始序列X(0)按下式计算累加生成序列X(1)(t)

X(1)uuX(1)(t?1)?(X(0)(1)?)e?at?aa

（2） 按X

(1)

，采用最小二乘法按下式确定模型参数

m?1(i)??X(0)(m)n式中：

?a?T?1T????a?(BB)BYN?????

1??(1)(1)?(X(1)?X(2))1??2?1?(1)(1)???(X(2)?X(3))1B??2?YN??????1(X(1)(n?1)?X(1)(n))1????2? ；

?X(0)(2)??(0)??X(3)????????X(0)(n)???

（3） 建立预测模型，求出累加序列

（4） 采用残差分析法进行模型检验

（5） 根据系统未来变化，确定预测值上下界，即按下式确定灰平面：

上界 Xmax(n?t)?X(1)(1)uuX(1)(t?1)?(X(0)(1)?)e?a?t?aa

(n)?t?max

(1)(1)X(n?t)?X(n)?t?min 下界 min（6） 用模型进行预测

利用上述模型预测是利用累加生成序列X(1)的预测值，利用累减生成法将其还原，即可以得到原始序列X(0)的预测值，如满足灰因子条件则完成预测。

4.7.1.4 模型检验

GM（1,1）模型通常采用残差检验法。所谓残差检验法是指按所建模型计算出累加序列，再按累减生成法还原，还原后将其与原始序列X(0)相比较，求出两序列的差值即为残差，通过计算相对精度以确定模型精度程度的一种方法。

如果相对精度均满足要求精度，则模型通过检验；

如果不满足要求精度，可通过上述残差序列建立残差GM(1,1)模型对原模型进行修正。

残差模型GM(1,1)，可提高原模型的精度，共有两种方式：

（1） 当用累加生成序列的残差建立GM（1,1）残差模型时，其残差序列为：

其累加生成GM（1,1）模型为：

?(1)(t)?X(1)(t)?(0)(t)?X

?(1)(t?1)?(?(0)(1)??dt?atu?)e?ata?

?其导数即为对模型X(1)的修正项：

?(t?i)(?a?)(?(0)(1)?u??at)ea?

???(t?i)??? 0 当t＜i时 式中

修正后的模型为：

1 当t≥i时

?(1)(t?1)?(X(0)(1)?u)e?at?u??(t?i)(?a)(?(0)(1)?u?)e?atX?aaa?

?(0)(t?1)??a(X(0)(1)?u)e?at??(t?i)(?a)2(?(0)(t)?ut)e?atX?aat或

?t（2） 当用还原模型的残差序列建立GM（1,1）模型时，残差序列为： 其累加生成模型为：

?(0)(1)?X(0)(t)q(1)(t)?X

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