2018版高中数学苏教版选修1-1学案：2.2.2 椭圆的几何性质(一)(3)

类型二 求椭圆的离心率

命题角度1 与焦点三角形有关的求离心率问题

例2 椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．

反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝

1－b 2a

2求解．

跟踪训练2 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2

上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．

命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)

例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为________．

(2)若椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．

反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．

跟踪训练3 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．

类型三 利用几何性质求椭圆的标准方程

例4 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．

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