欧拉定理(2)

即:

P*MPL=W (1)

P*MPK=r (2)

由式1和2可得：

MPL=W/P (3)

MPK=r/p(4

P为产品的价格，W/P和r/P分别表示了劳动和资本的实际报酬。因为在完全竞争的条件下，单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。假定整个社会的劳动总量和资本总量为L和K，而社会总产品为Q,由在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品,得:

Q=L*MPL+K*MPK(5)

式5称为欧拉分配定理。它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。[1] 定理证明

假设生产函数为：Q=f(L.K)(即Q为齐次生产函数),定义人均资本k=K/L

方法1:根据齐次生产函数中不同类型的生产函数进行分类讨论

(1)线性齐次生产函数

n=1,规模报酬不变,因此有:

Q/L=f(L/L,K/L)=f(1,k)=g(k)

k为人均资本，Q/L为人均产量，人均产量是人均资本k的函数。

让Q对L和K求偏导数,有:

Q/ L= [L*g(k)]/ L=g(k)+L*[dg(k)/dk]*[dk/dL]=g(k)+L*g’(k)*(-K/L)=g(k)-k*g’(k)

Q/ K= [L*g(k)]/ K=L*[ g(k)/ k]=L*[dg(k)/dk]*[ k/ K]=L*g’(k)*(1/L)=g’(k)

由上面两式，即可得欧拉分配定理：

L*[ Q/ L]+K*[ Q/ K]=L*[g(k)-k*g’(k)]+K*g’(k)=L*g(k)-K*g’(k)+K*g’(k)=L*g(k)=Q

(2)非线性齐次生产函数

1.当n〉1时，规模报酬递增，如果按照边际生产力分配，则产品不够分配给各个生产要素，即：

L*[ Q/ L]+K*[ Q/ K]>Q

2.当n<1时，规模报酬递减，如果按边际生产力进行分配，则产品在分配给各个生产要素之后还有剩余，即：

L*[ Q/ L]+K*[ Q/ K]<Q

方法2：设一个一般的齐次生产函数Q=f(L,K)为n齐次（即n任意的齐次生产函数，既可以是线性的，也可以是非线性的），则有：

Q=L *g(k)

将该函数对K，对L求偏导数，得：

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