高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解(5)

即得

；依次类推可得

，即得

，进而得。

有定义知，，，线性无关。

习题7.1.7设是上的线性变换，证明是可逆线性变换的充要条件为既是单射线性变换又是满射线性变换，即是一一变换。

证明：已知

是可逆线性变换，即存在

。若，则两端用作用即得，因此是单射线性变换。

若任取，则存在，使得，即是满射线性变换。

已知既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。现定

义新的变换：

，定有

，且有

，规定

，有，同时有，即有。由定义知是可逆线性变换。

习题7.1.8设是上的线性变换，证明（1）是单射线性变换的充要条件为；（2）是单射线性变换的充要条件为把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。

证明：（1

）已知是单射线性变换，

对，则

有，由单射得，即。

已

知，

若，则

有，

得，即得，故是单射。

（2

）已知

是单射线性变换。设

线性无关，现证

也线性无关。令，整

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