自旋与多粒子体系 - 图文(9)

称为反对称波函数，记为?A 。

可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交换，或者是对称的，或

者是反对称的。这一性质称为全同粒子波函数的交换对称性。不具有交换对称性的波函数是不能描述全同粒子体系的。

?????Pij,H??0?? 另外，由于?，可见Pij是守恒量，即全同粒子体系波函数的交换对称

性不隨时间而变化。 5. 全同粒子的分类

实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒子的自旋有确定的联系。 （1）凡是自旋为?整数倍的粒子(s?0,1,2,?)所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换

两个粒子总是对称的。例如，?介子(s?0)，α粒子（S＝0），基态的He(S=0)，光子（S＝1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose)—爱因斯坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。

（2）凡是自旋为?半奇数倍的粒子(s?1/2,3/2,?)，所组成的全同粒子体系，其波函数

对于交换两个粒子总是反对称的。例如，电子、质子、中子等，S＝1/2，它们在统计物理中遵从费米（Fermi）—狄拉克(Dirac)统计规律，称为费米子。

二、全同粒子体系的波函数

介绍如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交换对称性的波函数 1．两个全同粒子体系的波函数

?, 归一化本征函数为 假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密顿算符为H0?i, 本征值为?i，则应有

?(q)?(q)???(q)H01i1ii1

?H0(q2)?j(q2)??j?j(q2)? （5.6.8）

?(q),H0(q)在形式上是完全相同的，不考虑两粒子的相互作用时， 对于全同粒子，H012两个粒子体系的哈密顿算符为

??H?(q)?H?(q)H0102 （5.6.9）

相应的本征方程

??(q,q)?E?(q,q) （5.6.10） H1212式中的?(q1,q2)可以分离成两个单粒子波函数的乘积（因为不考虑相互作用）。 当第一个粒子处于i态，第二个粒子处于j态时，波函数为

?(q1,q2)??i(q1)?j(q2) （5.6.11）

它是满足（5.6.10）式的解，对应的本征能量 E??i??j 。 当第一个粒子处于j态，第二个粒子处于i态时，波函数为

?(q1,q2)??j(q1)?i(q2) （5.6.12）

它也是满足（5.6.10）式的解， 具有同样的本征能量 E??i??j 。（交换简并） 注意：?(q1,q2)是否具有交换对称性？

当i?j时，?(q1,q2)具有交换对称，对应玻色子.

当i?j时，（5.6.11）与（5.6.12）虽是本征方程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子波函数的条件。

（1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子是对称的，所以当i?j时，归一化的对称

波函数构成如下

?S(q1,q2)? 当i?j时

12[?i(q1)?j(q2)??i(q2)?j(q1)] （5.6.13）

?S(q1,q2)??i(q1)?i(q2) （5.6.14）

（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对称的，归一化的反对称波函数构成

如下

?A(q1,q2)?12[?i(q1)?j(q2)??i(q2)?j(q1)]

1?i(q1)?i(q2)?2?j(q1)?j(q2) （5.6.15）

由上式可以看出，当i?j时，则?A?0，所以两个费米子处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.

2. N个全同粒子体系的波函数

?不显含时间，以 设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量H0第i个本征值和本征函数，则N个全同粒子体系的哈密顿量为

?i 和?i表示H?的

0 对应本征值

??H?(q)?H?(q)????H0(q)??H0(q)H0102Nii?1?N? （5.6.16）

E??i??j????N的本征态

（5.6.17）

?(q1,q2,?qN)??i(q1)?j(q2)??k(qN)?体系的本征方程为 H??E? （5.6.18） 由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解了。但要求，还须作变换。

（1）对于N个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒子态，则组合中的每一项都是N个

单粒子态的一种排列，用

?(q1,q2,?qN)并不满足全同粒子体系波函数交换对称性的

?P来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为N!，

P所以玻色子系统的对称波函数是

?S(q1,q2,?qN)?

1P?i(1)?j(2)??k(N)?N!P （5.6.19）

但若单粒子态的个数小于粒子数，譬如有n1个粒子处于i态，n2个粒子处于j 态，nl个粒子处于k态，且n1?n2???nl?N，则因相同单粒子态的交换不会产生新的结果，

故所有可能排列的总项数等于下列组合数

nln1n2CNCN?n1?CN?n1???nl?1??

(N?n1???nl?1)!(N?n1)!N!???n1!(N?n1)!n2!(N?n1?n2)!nl!(N?n1???nl?1?nl)!N!N!?n1!n2!?nl!?lnl!

所以N个玻色子体系的对称波函数为

?S??lnl!P?i(q1)??i(qn1)??j(qn1?1)??j(qn1?n2)????k(qN)??N!P (5.6.19’)

????这里的P只对处于不同状态的粒子进行对换。

例一 求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。 解：设三个单粒子态分别为

?1,?2,?3，

（1）若三个粒子各处于不同状态 N!?3!?6（共6项），则

?S?

16[?1(q1)?2(q2)?3(q3)??1(q2)?2(q3)?3(q1)??1(q3)?2(q1)?3(q2)??1(q1)?2(q3)?3(q2)??1(q2)?2(q1)?3(q3)??1(q3)?2(q2)?3(q1)]

（2）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态，如则 3!/2!?1!?3 （共3项），有

n1?2,n2?1,n3?0

?S?

13[?1(q1)?1(q2)?2(q3)??1(q1)?1(q3)?2(q2)??1(q3)?1(q2)?2(q1)]

也可以是 个。

n1?2,n2?0,n3?1或n1?0,n2?2,n3?1等，

这样的对称波函数共有六

（3）三粒子都处于相同的单粒子态，如 也可以是 个。

n1?3,n2?0,n3?0，则

?S??1(q1)?1(q2)?1(q3)

n1?0,n2?3,n3?0或n1?0,n2?0,n3?3 这样的对称波函数共有三

（2）对于N个费米子，若它们分别处于i,j,?k态，则反对称的波函数为

?A??i(q1)?i(q2)??i(qN)1?j(q1)?j(q2)??j(qN)N!?????k(q1)?k(q2)??k(qN)?1(?1)PP[?i(q1)?j(q2)??k(qk)]?N!P （5.6.20）

式中(?1)P规定了求和号下每一项的符号，若把?i(q1)?j(q2)??k(qN)作为基本排列（第一项），则任一种排列都是基本排列经过每两个粒子的若干次对换而得到，对于偶次对换

(?1)P为正，奇次对换(?1)P为负。在N!项中，奇偶次对换各占一半。 注意：

a 如果N个粒子中有两个粒子处于相同的状态，如i?j，则行列式两行相同，因而值为零。这表明不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，此即泡利不相容原理。 b 任何二列交换，相当二个粒子交换，行列式变号，表示是交换反对称。

c 对于N个非独立的全同粒子，由于粒子间的相互作用，使体系的哈密顿量及波函数都不能写成（5.6.16）（5.6.17）式的形式，但H??E?仍成立，全同粒子对波函数对称性的要求依然存在，体系的对称及反对称波函数可由?的线性组合得出。

?§5.7 氦原子

多粒子体系的薛定谔方程只能近似求解，这里我们讨论氦原子（两个电子）。通过此例，即反映角动量耦合的规律，又表现全同粒子的特性，同时介绍微扰法在多体问题的应用。

??r,sr?2e 氦的原子核带电，不考虑核的运动，即视为两个全同粒子的体系。以11和2,s2

分别表示两个电子的坐标和自旋，系统的哈密顿量为

?22?222es22es2es2H???1??2???2?2?r1r2r12 （5.7.1）

?等式右边最后一项表示两个粒子的相互作用能量，H中不含自旋变量，即粒子的轨道和自旋是相互独立的。所以，氦原子的定态波函数可以写成坐标与自旋分离变量的形式

??????(r,r,S,S)??(r121z2z1,r2)?(S1z,S2z) （5.7.2）

可见，在不考虑轨道和自旋相互作用的情况下，问题归结为两电子体系的轨道运动和两电子体系的自旋运动，但由于电子属于费米子，故?必须是反对称的，这就要求 （1） （2）

?是对称的，?是反对称的；或 ?是反对称的，?是对称的。

一、 两个电子的自旋函数

由前面的讨论，可知两电子自旋函数分别为：

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