自旋与多粒子体系 - 图文(6)

2????H?2?U(r)02?式中 是未计入轨道与自旋相互作用的哈密顿算符，而

其中

?????(r)L??SH （5.3.17）

?(r)?

一般情况下

1dU(r)2?2c2rdr （5.3.18）

1????H??H??视为加在H0，所以可将轨道与自旋相互作用H0上的微扰，于是即

?H?可用微扰理论从0的本征值与本征函数出发，求得H的近似本征值与本征函数。 ?H1．0的本征问题

(0)??2HHE0n 考虑自旋后的本征值是2n度简并的。简并微扰法首先考虑如何用0的简

并波函数组合成H的零级近似波函数；其次是用

??H0的简并波函数计算微扰矩阵元。下

?H面首先看一下0的本征函数。

?2,L??,L?2,S?,SH0zz这一组力学量算符相互对易，它们有共同的本征矢 1） 因为

n,l,s,ml,ms?，实际就是j1?l,j2?s?1/2的无耦合表象基矢。由于s只能取

常数1/2，故无耦合表象基矢一般写为

n,l,ml,ms?。

??????????????????Lz,L?S??0?Sz,L?S??0Lz,H??0?Sz,H??0?????? 注意到 ?，?，所以?，?，

即轨道角动量和自旋角动量的各分量都不与H对易，说明存在轨道与自旋相互作用时自旋角动量和轨道角动量都不是守恒量。通常将守恒量的量子数称为好量子数，而对H来说，无耦合表象中道相互作用的系统。

??ml,ms不是好量子数，不适用于描述有自旋和轨

?,J,Jz?,L?,SH 2）以J?L?S表示电子自旋与轨道耦合的总角动量算符，则有0相

???22?2?互对易，它们有共同的本征矢

?2??2n,l,s,j,m??2?2??，简化为

n,l,j,m?，耦合表象基矢。

2J?(L?S)?L?S?2L?S(S?3?/4) 即 因为

?21?2?232L?S?(J?L??)24

??由此可见，不但L,S与L?S对易，而且J,Jz也与L?S对易，所以它们都和H对易，即耦合表象中虽然L与S都不是守恒量，但总角动量J是守恒量，这时

??2?2???2??????n,l,j,m?j,m都是好量子数，换句话说，H0的耦合表象基矢可以用来描述有自旋

和轨道相互作用的系统。H0的耦合表象基矢可参照（5.3.14）式写出

11?1?21?2???l?m?l?m??|n,l,l?1,m???2?|n,l,m?1,1???2?|n,l,m?1,?1??????22l?1222l?122???????????????112?1?1?2????l?m?2??l?m?2?11111?|n,l,l?,m?????|n,l,m?,????|n,l,m?,??22222??2l?1??2l?1???????????（5.3.19）

??若以坐标表象和Sz表象基矢?r,?,?,Sz|乘上式两边，得

11?21?1?2????l?m?2??l?m?2????n,l,l?1,m??2l?1?RnlYl,m?1(?,?)?1??2l?1?RnlYl,m?1(?,?)??122222???????????????11?1?21?2??l?m?l?m????2?RY2?RY????(?,?)????nll,m?1??nll,m?1(?,?)??111n,l,l?,m2l?12l?1?22222??????????????（5.3.20）

?应注意，H0和H并不对易，

???nljm(r,?,?,Sz)只是H0的本征函数，并不是H的

???本征函数。它本身或它们的某种线性组合只能作为H的本征函数的零级近似。 2 能量的一级修正

既然把自旋和轨道相互作用视作微扰，那么计算微扰矩阵元，解久期方程就可得到本征能量的一级修正。H0的两套基矢都可用来计算微扰矩阵元，但耦合表象基矢

?n,l,j,m?对于L?S来说是其本征矢，微扰H?在此表象中的矩阵元是对角化的，事实

????上不必解久期方程而直接由H?的对角元素写出能量的一级修正。

采用

n,l,j,m?计算微扰矩阵元

???

Hl??j?m?,ljm??nl?j?m?|H?|nljm???nl?j?m?|?(r)L?S|nljm?

1?2?232??nl?j?m?|?(r)(J?L??)|nljm?24

??232?[j(j?1)?l(l?1)?]?ll??jj??mm??Rnl(r)?(r)r2dr024 （5.3.21）

由公式

??H?ljml?j?m?,ljm(1)?En?ll??jj??mm?Cljm?0? 可得

(1)nljE

(1)n??E?Hljm?23?22?[j(j?1)?l(l?1)?]?Rnl?rdr240 （5.3.22）

2U(r)??Ze/r，这样 s若不考虑核外电子对核的屏蔽，则

?

?0Zes2R(r)?(r)rdr?2?2c22nl2?02Rnles2Z4dr?3r2?2c2a0n3l(2l?1)(l?1) （5.3.23）

22a??/?e0s式中 。（5.3.23）代入（5.3.22）后可见，对于给定的n,l，能量还

与j有关，而j可取l?1/2和l?1/2两个值，从而得到考虑L?S耦合时对应

??j?l?1/2与j?l?1/2时能量的一级近似为：

??c2(Z?)4(0)?Enlj?l?1?Enl?2n3(2l?1)(l?1)?2?24?c(Z?)(0)?E1?Enl?nlj?l??2n3l(l?1)2? （5.3.24）

es21????c137为精细结构常数。式中 （5.3.24）式表明，考虑自旋和轨道相互

E作用后，对于原来只与n,l有关的一个能级nl分裂成能量为

相应，原来由能级

Enlj?l?12的两个能级；与此

Enl向其他能级跃迁而发出的每一条谱线，在碱金属的不同谱线中，

可分别观测到两条或三条谱线，这就是光谱线的精细结构。由（24）式可见，每个能级分裂的间隔随原子序数的增大而增大，故原子序数较大的碱金属光谱的精细结构现象比较显著。当然，l?0的能级是不会分裂的。

四 反常塞曼效应

? 若将类氢原子放入弱磁场B中，必须同时考虑自旋—轨道相互作用及外磁场对自旋、

轨道磁矩的作用。这时哈密顿量是

2???e?2?????H??H????U(r)??(r)L?S?(L?2S)?B?H0B2?2? （5.3.25）

2???????SH?2?U(r)??(r)L02?其中 （5.3.26）

??e??H?(L?2S)?B2? （5.3.27）

???)??E?H的本证方程为 (H0?HB （5.3.28）

?E由于外磁场较弱，我们可以将外磁场作用项看作微扰。但是，H0的本征值nlj仍具有

(2j?1)度简并，故（5.3.28）式的求解仍需采用简并微扰法，用H0的本征矢

?????(0)?nljm?计

2?HJB算微扰矩阵元。但由于的存在，和Jz都不与H对易，即总角动量J已不再是守恒

??量，因而j,m也不再是好量子数，且HB在H0表象基矢中的矩阵成为非对角的。不过，由??H于是弱场，略去不同m值的状态之间的耦合，近似的将B矩阵视为对角矩阵，选取磁场B沿z轴方向，微扰矩阵为

??eB?|nljm???nljm?|HB?nljm?|Lz?2Sz|nljm?2?

???????L?jm?|Jz?Sz|jm???L(m???jm?|Sz|jm?) 式中

?????L(m???jm?|Sz|jm?)?m?m? （5.3.29）

?L?eB/2?，最后一步是将微扰矩阵近似看作对角化的，以便使久期方程对角化，

?直接写出能量的一级修正。但耦合表象基矢|jm?不是Sz的本征矢，必须把|jm?按

?（5.3.19）式展开，才能计算?jm|Sz|jm? 。当

?j?l?12时

?11?l?,m|Sz|l?,m?2211??111?l?m?1/2?2111???l?m?1/2?2????l,m?,,|???l,m?,,?|???222?2l?1?222??2l?1????11???111111???l?m?1/2?2?l?m?1/2?2|Sz|???|l,m?2,2,2???2l?1?|l,m?2,2,?2??2l?1??????????l?m?1/2l?m?1/2?m??????2l?122l?12l?1?? （5.3.30）

同理，当

j?l?12时

?11m??l?,m|Sz|l?,m???222l?1 （5.3.31）

计及弱磁场带来的影响后，能量的一级近似为

?1??(0)E?E?1???m?L?1?l?1,ml?2l?1?2??2?1??)?E1?E(01??1??m?L?l?,ml??2l?1??2 ?2 （5.3.32）

相应的零级近似波函数仍由（5.3.19）或（5.3.20）给出，但现在的能级已对m解除了简并。下图给出Na黄光的：

3/2 1/2 -1/2 -3/23P3P3/23P1/2D 1/2 -1/2D1D2 1/2 -1/2m3S3S 无耦合 L_S耦合 在弱磁场中

由图可见，能级分裂情况是：考虑L?S耦合时，3S能级(n?3,l?0)不分裂，记为

??3S1/2(j?1/2)；3P能级(n?3,l?1)，因j??1/2，故分裂成两个：3P3/2(j?3/2)和3P1/2(j?1/2)，从而形成光谱线的精细结构。加入弱磁场后，同时考虑L?S耦合则前述

??

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库自旋与多粒子体系 - 图文(6)在线全文阅读。