自旋与多粒子体系 - 图文(2)

自旋函数是2?1矩阵，作用在自旋函数上的自旋算符应该是2?2矩阵。令泡利（Pauli）矩阵

???ab? ?z???cd??由表象理论知，若采用?z表象，则?z应是对角化的，对角元素即为

???其本征值，由于?z的本征值为?1，所以

?10? ?z???0?1?? （5.1.20）

??????x,??y在?z表象中的具体形式，可根据算符的厄米性???，设?x???关于??b*c??

???????ab?????a利用?z?x??x?z?0可得 ???b*??b??a????*?c???b?b???0 ?c??于是 a?c?0 这样?x写成

??0 ?x???b*??2b?? （5.1.21） 0??2b??b????0??0?由于?x的本征值为1 所以 ?x矩阵

?2?0???b*?b??0???*0???b10?0?????2?01?? 单位

b????则 b?1 令 b?ei? （?为实数） 这样

?0?x???e?i???2ei??? （5.1.22） 0???? （5.1.23） ?????e?i(???)????i(???)??e0??0???0 类似可得 ?y???e?i???????ei?0?ei(???)利用?x?y??y?x?0 可得 ??0??? i(???)??e?0,,? 由于?x和?y之间有一个相角不定性

22（相当于取定z轴后，x,y轴取向并未取定，只确定了x,y轴之间的关系），习惯上取

???)?0 ????即有 cos(?3???0,????2

? 从而可得，在?z表象中，泡利矩阵的标准形式为

????01??10??0?i????? ?z?? ????xy?10??0?1??i0?? （5.1.24） ??????在Sz表象中，自旋算符矩阵表示的标准形式为

????0??10???01?? Sz??? Sx?2??10?? Sy??0?12?2??????i???i?? （5.1.25） 0??注意以下两点：

??????? （1）?x,?y,?z只是?在三个特殊方向上的投影，若以?n表示?在任意方向n（方向

余弦是cos?,cos?,cos?）的投影，则

?n??xcos???ycos???zcos? cos?? ???cos??icos????????cos??icos??? ? （5.1.26）?cos??? （2）以上讨论的是?z表象，若在?x表象中，?x应为对角矩阵，通过坐标轮换得 矩算 符 阵 表象 ?z ?x ?y ?10???0?1?? ?? ?z ?x ?y ???01???10?? ???x ??0?i???i0?? ?? ?y ???y ?z ???z ??x ?三、几个重要公式

?????????1）(??A)(??B)?A?B?i??(A?B)

????(??A)(??B)??????A?B???(????i???????)A?B? ??????A?B??i?????A?B??? （5.1.27） ???????????因为 (A?B)?C?A?(B?C)?????A?B?C? ????????????可见，（5.1.27）中的第一项即A?B，第二项即i??(A?B)?i(??A)?B。因此：

?????????(??A)(??B)?A?B?i??(A?B) （5.1.28）

??????2）(??A)??A?i??A

?????? 式（5.1.28）中最后一项也可写成i??(A?B)?i(??A)?B，因为对任何B都成立。所

?以式（5.1.28）可改写为：

??????(??A)??A?i??A （5.1.29）

类似，有

??????????(??A)?A?i??A?A?iA?? （5.1.30）

两式相加、减，即得：

?(??A)?(??A)??2A （5.1.31）

?????????(??A)?(??A)??2iA?? （5.1.32）

???????（5.1.28）式的几个特例：

??(??n)2?1，n为单位常矢量 （5.1.33） ???(??r)2?r2，r为电子的位置矢量 （5.1.34） ???(??p)2?p2，p为电子的动量算符 （5.1.35）

??2?2???(??L)?L?i??(L?L)

?2???L????L （5.1.36）

三、本征值和本征函数

令Sz的本征函数为

???ms(sz)，对应的本征值为ms?，写出本征方程

?a???10??a??????m?s???b??b??Sz?ms(sz)?ms??ms(sz)0?12??????? 即

?(ms?1/2)a?0??(ms?1/2)b?0由此可得

a,b有非零解的条件

ms?1/20?00ms?1/2?

由此得 ms??1/2，即Sz的本征值为

?11?ms?2。 对应2 得b?0

??1?1?1所以

?1(sz)?????2?a??0? 利用归一化条件

22 得

a?12

i?我们取 a?1（实际取 a?e中的相角??0）,所以

?1(sz)?????2?1??0? （51.37）

?0??(s)?1z?1????? （5.1.38）同理 2

???1?这两个对应不同本征值的本征函数正交

2?12?0

并且构成电子自旋态的一组正交归一完备系，电子的任意自旋态均可以它们为基矢展开

??a?1?b? 注意以下几个问题：

2?12?a????b???? （5.1.39）

（1）Sz表象中，Sx,Sy的本征值和本征函数 由于本征值不随表象而变化，可见Sx,Sy的本征值均为???1(sx)??2???1(sx)???2???(s)??1y?2??(s)???1y ?21?1?????2?1?1?1????1??2??1?1???i??2??1?1?????2??i???????1?2，相应的本征函数为

（5.1.40）

它们可用Sz的本征函数来展开

??

1?2(sx)?12?1(sz)?212?1?2(sz)?

1?2(sy)?12?1(sz)?2i2??12(sz)

??n （2）利用球坐标系分析任意方向上的投影算符Sn的本征函数

因为

所以

??sin?cos?S??sin?sin?S??cos?S?Snxyz??cos??Sn??i?2??sin?e?sin?e?i????cos???求解本征方程

??cos??i?2??sin?e?a?sin?e?i???a?????ms??????b??cos??????b? 容易得到

ms??111ms????2 则 2即本征值也为2 取

?(1?cos?)a?sin?e?i?b?0?i??sin?ea?(1?cos?)b?0

sin?ei?b?a1?cos? 得 利用第二式

a???1(sn)?sin?ei??2?1?cos?

利用归一化条件得

??a??

?sin2??1?cos??2?(sn)?1(sn)?a?1??1a??cos22??(1?cos?)?22 2

?122a?cos取

?2 则

sin?ei???b?cos?sinei?1?cos?22

????cos?2??1(sn)???i???2sine??2?? 于是得

????sin?2??1(sn)????i??2??cose??2?? 同理可得

当???/2,??0时，可得

???1(sx)?2；当???/2,???/2时，可得

?1(sy)?2。

显然Sn的本征函数可以用Sz的本征函数展开

??i??(s)?cos?(s)?sin?e?1(sz)1n1z??22?22?????1(sn)?sin?1(sz)?cosei??1(sz)?222??2 ?2

?1(sn)由此可以看出，在

2态中，出现Sz的本征值为?/2的概率为

?cos2?2，本征值为

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