微观经济学计算题

第二章 需求、供给 计算题

1、 假设X商品的需求曲线为直线，QX=40?0.5PX,,Y商品的需求曲线也为直线,X与Y的需求线在Px=8

的那一点相交,在Px=8的那一点上,X的需求弹性的绝对值只有的Y的需求弹性的绝对值的一半，请根据上述条件求Y的需求函数。

解:当PX=8时,QX=36,且|EX|=1/9,故|EY|=2/9,设Y商品的需求函数为QY=a-bPY, 由此可得b=1,由于36=a-8,得a=44,故Y商品的需求函数为QY=44-PY.

2、 某人每周收入120元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，PX=2元，PY=3元。求（1）为获得最大效用，他会购买几单位X和Y？（2）货币的边际效用和总效用各多少？（3）假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，收入必须增加多少？ 解:（1）由U=XY，得MUX=Y，MUY=X，根据消费者均衡条件得Y/2=X/3 考虑到预算方程为2X+3Y=120 解得X=30，Y=20

（2）货币的边际效用λ=MUX/PX=Y/PX=10 总效用TU=XY=600

（3）提价后PX=2.88 新的消费者均衡条件为Y/2.88=X/3 由题意知XY=600，解得X=25，Y=24 将其代入预算方程M=2.88×25+3×24=144元 ΔM=144-120=24元

因此，为保持原有的效用水平，收入必须增加24元。 3、证明需求曲线P=a/Q上的点均为单一弹性

证明：dQ/dP=-aP, Ed=(dQ/dP)(P/Q)=(-aP)(P/aP)=-1, 故| Ed|=1，为单一弹性。

4、1986年7月某外国城市公共汽车票价从32美元提高到40美元,1986年8月的乘客为880万次,与1985年同期相比减少了12%,求需求的弧弹性. 解:由题设, P1=32, P2=40, Q2=880 Q1=880/(1-12%)=880/88%=1000

1

-2

-2

-1

于是,Ed=[(Q2-Q1)/( P2-P1)]×[(P1+P2)/(Q1+Q2)]≈-0.57 故需求弹性约为-0.57.

5、设汽油的需求价格弹性为-0.5，其价格现为每加仑1.20美元，试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10％？

解：因为（dQ/Q）·（P/dP）=-0.5 要使dQ/Q=-10%，则有dP/P=1/5 dP=1.2×0.2=0.24 所以每加仑汽油价格要上涨0.24美元

6、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为-2，软盘驱动器的弹性为-1，如果公司将两种产品都提价2%，那么这些产品的销售将会怎样变化？

解：因为芯片弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-2 所以dQ/Q=-2×2%=-4%

因为软盘驱动器弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-1 所以dQ/Q=-1×2%=-2% 即提价2%后，芯片销售下降4%，软盘驱动器销售下降2%。

7、消费x,y两种商品的消费的效用函数为：u=xy, x,y的价格均为4，消费者的收入为144，求x价格上升为9，所带来的替代效应和收入效应。 解：Mux=y Muy=x 因为Mux/Px=Muy/Py 得X=y 又因为4X+4y=144 得X=y=18

购买18单位x与18 单位y，在x价格为9时需要的收入M=234 在实际收入不变时，Mux/Muy=Px/Py=y/x=9/4 且9x+4y=234

得x=13，可以看出由于替代效应对X商品的购买减少5单位。

再来看价格总效应，当Px=9,Py=4时，Mux=y Muy=x Y/x=9/4且 9x+4y=144 得X=8 y=18

由此可见价格总效应使X商品的购买减少10单位，收入效应与替代效应各为5单位。

8、某消费者消费X和Y两种商品时，无差异曲线的斜率处处是Y/X，Y是商品Y的消费量，X是商品X的消费量。（1）说明对X的需求不取决于Y的价格，X的需求弹性为1；（2）PX=1，PY=3，该消费者均衡时的MRSXY为多少？（3）对X的恩格尔曲线形状如何？对X的需求收入弹性是多少？ 解：（1）消费者均衡时，MRSXY=Y/X=PX/PY，即PXX=PYY，

又因为PXX+PYY=M，故X=M/2PX，可见对X的需求不取决于Y的价格。 由于dX/dPX=-M/2PX |EX|=-(dX/dPX)(PX/X)=1

2

2

(2)已知PX=1，PY=3，消费者均衡时，MRSXY=PX/PY=1/3。 （3）因为X=M/2PX，所以dX/dM=1/2PX，

若以M为纵轴，X为横轴，则恩格尔曲线是从原点出发，一条向右上方倾斜的直线，其斜率是dM/dX =2PX。

对X的需求收入弹性EM=（dX/dM）（M/X）=1

9、已知销售商品X的总收益（R=PQ）方程为：R=100Q-2Q，计算当边际收益为20时的点价格弹性。 解：由R=100Q-2Q，得MR=dR/Dq=100-4Q

当MR=20时，Q=20，考虑到R=PQ=100-2Q，得P=100-2Q=60 Ed=(dQ/dP)·(P/Q)=(-1/2)·(60/20)=-3/2

10、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：PX=1000-5QX，PY=1600-4QY，这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。（1）求X和Y当前的价格弹性；（2）假定Y降价后，使QY增加到300单位，同时导致X的销售量QX下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少？（3）假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化，你认为它降价在经济上是否合理？ 解：（1）PX=1000-5QX=1000-5×100=500 PY=1000-5QY=1600-4×250=600

EdX=(dQX/dPX)·(PX/QX)= (-1/5)·(500/100)=-1 EdY=(dQY/dPY)·(PY/QY)= (-1/4)·(600/250)=-3/5 （2）由题设，QY’=300,QX’=75

则 PY’=1600-4QY’=400 ΔQX=-25, ΔQY=-200 于是EXY=(ΔQX/ΔPY)·[(PY+PY’)/2]·[2/(QX+QX’)]=5/7

(3)根据(1)得知Y公司产品在价格P=600时,需求价格弹性为-3/5,说明缺乏弹性, 这时降价会使销售收入减少,故降价不合理. 第三章 消费者行为理论 计算题

1、某人每周花 360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:U=2XY,求在均衡状态下,他如何购买效用最大?

3

2

2

2

2

解:max:U=2XY S.T 360=3X+2Y

构造拉格朗日函数得:W=2XY+λ(360-3X-2Y) dW/Dx=MUx-3λ=4xy-3λ=0 dW/Dy=MUy-2λ=2x-2λ=0

求得:4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=60

2、求最佳需求，maxU=X1+(X2-1)/3 S.T 4X1+4X2=8

(1) 如果效用函数变为U=3X1+(X2-1),而预算约束不变则最佳需求会改变吗？ (2）如果效用函数不变，而预算约束变为2X1+2X2=4, 则最佳需求会改变吗？ ．解：运用拉格朗日函数，L=X1+(X2-1)/3+λ(8-4X1-4X2) dL/dX1=1-4λ=0

dL/dX2=(x21)-4λ=0 显然，（X2-1）=1,求得：X2=0,X1=2;或X2=2, X1=0 代入总效用函数,可将X2=2, X1=0舍去,因此最佳需求为X2=0,X1=2 当U=3X1+(X2-1)时，同理求得X1=2,X2=0,即最佳需求不变.

当预算约束变为2X1+2X2=4时,同理求得:X1=2,X2=0,最佳需求也不变.

3、某人的收入为10000元，全部用于购买商品X和商品Y（各自的价格分别为50、20元），其效用函数为u=xy。假设个人收入税率为10%，商品X的消费税率为20%。为实现效用极大化，该人对商品x、y的需求量应分别为多少？ 解：M=10000（1-10%）=9000 Px=50（1+20%）=60 Py=20

预算约束式：60x+20y=9000 由此可得 y=450-3x 代入u=xy的得

u=9(x-300x+22500x）

由du/dx=9（3x-600x+22500）=0得

x1=150 x2=50 由于x1=150时,u=0不合题义，所以该人需求量为x=50，y=300。

4

2

3

2

2

2

3

_

2

2

33

3

2

2

2

4、所有收入用于购买x,y的一个消费者的效用函数为u=xy，收入为100，y的价格为10，当x的价格由2上升至8时，其补偿收入（为维持效用水平不变所需的最小收入）是多少？ 解：最初的预算约束式为 2x+10y=100

效用极大化条件MUx/Muy=Px/Py=2/10 由此得y/x=1/5 x=25,y=5,u=125

价格变化后，为维持u=125效用水平，在所有组合(x,y)中所需收入为 m=8x+10y=8x+10·125/x

最小化条件（在xy=125的约束条件下） dm/dx=8-1250x=0 解得x=12.5,y=10,m=200

5、若某消费者的效用函数为U=XY，他会把收入的多少用于商品Y上？ 解:由U=XY，得MUX=Y，MUY=4XY，根据消费者均衡条件得Y/PX=4XY/PY， 变形得：PXX=（1/4）PYY，将其代入预算方程得PYY=（4/5）M， 即收入中有4/5用于购买商品Y。

6、设某消费者的效用函数为U（x,y）=2lnx+(1-α)lny；消费者的收入为M; x,y两商品的价格分别为PX，PY；求对于X、Y两商品的需求。

解: 构造拉格朗日函数L=2lnX+(1-α)lnY+λ(M-PXX-PYY)

对X 、Y 分别求一阶偏导得2Y/(1-α)X=PX/PY 代入PXX+PYY=M 得:X=2M/(3-α) PX Y=(1-α)M/(3-α) PY

7、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X，和对商品Y的消费量，购买Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。假设日工资为100元，商品Y的价格为50元，问该人若想实现效用最大化（U=XY），则他每年应安排多少个劳动日？ 解：预算约束式为50Y=100L， 即Y=2L=2（365-X） 构造拉格朗日函数L= XY-λ(Y +2X -730）

对X 、Y 分别求一阶偏导得Y =3X ，进而得X =146，Y =438，L =219,

5

23

234

4

3

4

3

4

-2

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