现代控制理论试卷 答案与解析(13)

八、系统的状态方程如下：x x u，x(0) 10，性能指标泛函

.

J(u)

1

1

2

(x

2

u2

)dt

分两种情况求最优控制：u*(t)。

（1） 对u没有约束 （2）u(t)

0.3

解：

（1） 原问题为自由终端状态，因而 (1) 0。

由哈密尔顿函数 H L f 12

2

(x

2

u) ( x u)

又因为

Hg

T

u

u

=0

所以u*(t) (t) 又沿最优轨迹线满足正则方程：

.

x

H

x u x

.

H g

T

x

x

H x

x

边界条件 x(0) 10, (1) 0 通过上式联合解答： x*(t) 0.1e

2t

9.9e

2t

(t) 0.1(2 1)e

2t

9.9(2 1)e

2t

（2） 由极小值原理，u*(t)与 (t)符号有关，取u*(t) 0.3sgn (t) sgn (t)表示 (t)的符号， t 1, 0, 取u*(t) 0 在[0,1]区间， (t) 0，取u*(t) 0.3。 下图表示求解结果。

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