高等数学第六版上册(同济大学) 第四章答案(5)

(24)∫cos2xdx; cosx sinx

cos2xcos2x sin2x 解 ∫=∫(cosx+sinx)dx=sinx cosx+C. dx=∫cosx sinxcosx sinx

cos2xdx; (25)∫22cosxsinx

cos2xcos2x sin2x11 解 ∫dx=dx=( )dx= cotx tanx+C. ∫∫222222cosxsinxcosxsinxsinxcosx

1 (26)∫(1 2)xxdx; x

1 44 44 解 ∫ 1 2 xxdx=∫(x x)dx=x+4x4+C. 7 x 3571

2. 一曲线通过点(e2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.

解 设该曲线的方程为y=f(x), 则由题意得

1 y′=f′(x)=, x

1所以 y=∫dx=ln|x|+C. x

又因为曲线通过点(e2, 3), 所以有=3 2=1

3=f(e 2)=ln|e 2|+C=2+C,

C=3 2=1.

于是所求曲线的方程为

y=ln|x|+1.

3. 一物体由静止开始运动, 经t秒后的速度是3t2(m/s), 问

(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？

(2)物体走完360m需要多少时间？

解 设位移函数为s=s(t), 则s′=v=3 t2, s=∫3t2dt=t3+C.

因为当t=0时, s=0, 所以C=0. 因此位移函数为s=t 3.

(1)在3秒后物体离开出发点的距离是s=s(3)=33=27.

(2)由t 3=360, 得物体走完360m所需的时间t=≈7.11s.

ex12xxx的原函数. 4. 证明函数e, eshx和echx都是chx shx2

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