2014高考调研理科数学课时作业讲解 - 课时作业16(2)

当0

π

令h′(x)＝0，得cosx＝a，在(0，2)内存在x0，使得cosx0＝a. 当x∈(0，x0)时，h′(x)<0. ∴h(x)

与 ?x∈(0，＋∞)，f′(x)>0恒成立矛盾．∴a≥1. 16．(2012·北京)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；

(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．

解析 (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.

因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．

即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b. 解得a＝3，b＝3.

1

(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝4a2时， 1

h(x)＝x3＋ax2＋4a2x＋1， 1

h′(x)＝3x2＋2ax＋4a2.

aa

令h′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－6. 当a>0时，h(x)与h′(x)的情况如下：

x h′(x) h(x) a???－∞，－2? ??＋ ? a－ 20 a??a?－2，－6? ??－ ? a－ 60 ?a??－6，＋∞? ??＋ a??a??所以函数h(x)的单调递增区间为?－∞，－2?和?－6，＋∞?；单调递减区间

????a??a

－，－?为2. 6???

a

当－2≥－1，即0

函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值1

为h(－1)＝a－4a2.

aa

当－2<－1，且－6≥－1，即2

a???a?

函数h(x)在区间?－∞，－2?内单调递增，在区间?－2，－1?上单调递减，h(x)

?????a?在区间(－∞，－1]上的最大值为h?－2?＝1.

??

a?a?

当－6<－1，即a>6时，函数h(x)在区间?－∞，－2?内单调递增，在区间

??a??a?a?

?－2，－6?内单调递减，在区间?－6，－1?上单调递增． ????

a11

又因h(－2)－h(－1)＝1－a＋4a2＝4(a－2)2>1， a

所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－2)＝1. 17．已知函数f(x)＝lnx－ax＋

1－a

－1(a∈R)． x

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； 1

(2)当a≤2时，讨论f(x)的单调性．

2

解析 (1)当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋x－1，x∈(0，＋∞)． 12

∴f′(x)＝x＋1－x2，∴f(2)＝ln2＋2，f′(2)＝1. ∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x＋ln2. 1－a

(2)因为f(x)＝lnx－ax＋x－1，

a－1ax2－x＋1－a1

所以f′(x)＝x－a＋x2＝－，x∈(0，＋∞)．

x2令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)， ①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)．

所以当x∈(0,1)时g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋

∞)时g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

1

②当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝a－1.

1

(ⅰ)若a＝2时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

11

(ⅱ)若0a－1，所以函数f(x)在(0,1)，1??1??

?a－1，＋∞?单调递减，在?1，a－1?上单调递增． ????

1

(ⅲ)当a<0时，由于a－1<0，由f′(x)<0，得0

当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 1

当a＝2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

1?1?1??

－1，＋∞1，?上单调递减，在?当0

1．若函数f(x)＝(x2－2x)ex在(a，b)上单调递减，则b－a的最大值为( ) A．2 C．4 答案 D

解析 f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex. 令f′(x)<0.∴－2

即函数f(x)的递减区间为(－2，2)． ∴b－a的最大值为22.

2．已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示．下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是

( )

B.2 D．22

答案 C

解析 由题意知，x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数． x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． x∈(－1,0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．

3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有 ( ) A．f(x)≥f(a) C．f(x)>f(a) 答案 A

解析 由题意知，x>a时，f′(x)≥0，x

4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为

A．(－1,1) C．(－∞，－1) 答案 B

解析 设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2. ∵f′(x)>2，∴g′(x)>0. ∴g(x)在R上是增函数．

又∵g(－1)＝f(－1)－2(－1)－4＝0， ∴g(x)>g(－1)＝0，∴x>－1. lnx

5．若f(x)＝x，ef(b)

B．f(a)＝f(b)

( )

B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

( )

B．f(x)≤f(a) D．f(x)

C．f(a)

D．f(a)f(b)>1

1－lnx

解析 f′(x)＝x2，当x>e时，f′(x)<0， 则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)，故选A. 1

6．若a>2，则函数f(x)＝3x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有 A．0个零点 C．2个零点 答案 B

解析 ∵f′(x)＝x2－2ax，且a>2， ∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0， 即f(x)在(0,2)上是单调减函数． 11

又∵f(0)＝1>0，f(2)＝3－4a<0， ∴f(x)在(0,2)上恰好有1个零点．故选B.

7．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是 ( )

A．(－3,0)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 答案 D

解析 f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， ∴f(x)·g(x)为奇函数．

当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0. 即x＜0时，[f(x)·g(x)]′＞0.

∴f(x)·g(x)为增函数，且f(－3)·g(－3)＝0. 根据函数性质可知，f(x)·g(x)＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)．

8．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是

A．(2,4)

B．(－3，－1)

( )

B．(－3,0)∪(0,3) D．(－∞，－3)∪(0,3) B．1个零点 D．3个零点

( )

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