2014高考调研理科数学课时作业讲解 - 课时作业16

课时作业(十六)

4

1．当x>0时，f(x)＝x＋x的单调减区间是 A．(2，＋∞) C．(2，＋∞) 答案 B

4?x－2??x＋2?

解析 f′(x)＝1－x2＝<0，

x2又∵x>0，∴x∈(0,2)，∴选B.

33

2．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－3，3)，则a的取值范围是( ) A．a＞0 C．a＞1 答案 A

解析 y′＝a(3x2－1)， 33

解3x2－1＜0，得－3＜x＜3.

33

∴f(x)＝x3－x在(－3，3)上为减函数． 33

又y＝a·(x3－x)的递减区间为(－3，3)．∴a＞0. 3．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为 1A．(0，a) 1

C．(－∞，a) 答案 A

11

解析 由f′(x)＝x－a>0，得0∴f(x)的单调递增区间为(0，a)．

4．(2013·唐山一中)函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是

( )

1

B．(a，＋∞) D．(－∞，a)

( )

B．－1＜a＜0 D．0＜a＜1 B．(0,2) D．(0，2)

( )

答案 A

5．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x1

－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f(2)，c＝f(3)，则

A．a解析 由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)． 又x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，可知f′(x)>0. 1

即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)6．f(x)为定义在R上的可导函数，且f′(x)>f(x)，对任意正实数a，则下列式子成立的是

A．f(a)

C．f(a)

f?x?， ex

B．f(a)>eaf(0) f?0?

D．f(a)>ea

( )

B．c

( )

f′?x?ex－f?x?exf′?x?－f?x?

∴g′(x)＝＝>0. ex?ex?2∴g(x)在R上为增函数，又∵a>0， f?a?f?0?

∴g(a)>g(0)即ea>e0. 即f(a)>eaf(0)．

7．(2012·福建)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a

( )

①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0. A．①③ C．②③ 答案 C

解析 ∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依题意有，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图像与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)<0，即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)<0.

∴00，f(3)＝－abc<0，故②③是对的，应选C.

8．(2012·冀州中学模拟)若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈

A．(0,1) C．(2,3) 答案 C

解析 由f′(x)<0?x2－4x＋3<0， 即1

故D为充要条件，C为充分不必要条件．

9．设曲线y＝x2＋1在其任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝g(x)·cosx的部分图像可以为

( )

B．[0,2] D．(2,4)

( )

B．①④ D．②④

答案 A 解析 g(x)＝2x，

∴y＝2x·cosx此函数为奇函数，排除B、D. π

当x∈(0，2)时，y>0，排除C选A.

10．函数y＝x－2sinx 在(0,2π)内的单调增区间为________． π5π

答案 (3，3)

?y′>0，

解析 ∵y′＝1－2cosx，∴由?

00，π5π

?即得3

π5π

∴函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的增区间为(3，3)．

11．函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________．

答案 (2，＋∞) 解析 令g(x)＝f(x)－x， ∴g′(x)＝f′(x)－1.

由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数． ∵g(2)＝f(2)－2＝0， ∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．

4π5π

12．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，f(－4)，f(3)，f(－4)的大小关系为______(用“<”连接)．

4π5π答案 f(3)

5π4π

解析 f′(x)＝sinx＋xcosx，当x∈[4，3]时，sinx<0，cosx<0. 5π4π

∴f′(x)＝sinx＋xcosx<0，则函数f(x)在x∈[4，3]时为减函数． 4π5π

∴f(3)

1

13．已知函数f(x)＝2mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．

答案 [1，＋∞)

1

解析 f′(x)＝mx＋x－2≥0对一切x>0恒成立． 1?1?2?1?2

m≥－?x?2＋x，令g(x)＝－?x?2＋x，则当x＝1时，

????函数g(x)取得最大值1，故m≥1.

x2

14．求函数f(x)＝x(e－1)－2的单调区间．

x

答案 在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． 1

解析 f(x)＝x(ex－1)－2x2，

f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)． 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；

当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． a

15．设函数f(x)＝2x2－1＋cosx(a>0)．

(1)当a＝1时，证明：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若y＝f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求正数a的范围． 答案 (1)略 (2)a≥1

1

解析 (1)证明：当a＝1时，f(x)＝2x2－1＋cosx. 令g(x)＝f′(x)＝x－sinx，

g′(x)＝1－cosx≥0，?x∈(0，＋∞)恒成立． ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上是增函数． ∴g(x)>g(0)＝0.

∴f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)为增函数． a

(2)f(x)＝2x2－1＋cosx， 令h(x)＝f′(x)＝ax－sinx. ∵y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴ax－sinx>0恒成立． 当a≥1时，?x∈(0，＋∞)， 恒有ax≥x>sinx，满足条件．

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