高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案(4)

例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离1

为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点．

2(1)求抛物线C的方程；

(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

例题答案解析

一、抛物线的定义及其应用

例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.

由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．

于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为5. (2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.

例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已 知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)． 二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、设点A(x1，y1)，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有 |BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝

|BB1|1π

＝，∠CBB1＝.|BC|23

πpπ

即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝23，因

32311

此△AKF的面积等于|AK|2y1＝34323＝43.

22

例4．分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，

∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故点F13

到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.

22三、抛物线的综合问题

例5、(1)直线AB的方程是y＝22(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，

25p所以：x1＋x2＝，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，

4所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.

(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，

py2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；

????设OC＝(x，y)＝(1，－2

33

2)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．

又y22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)． 3＝8x3，即[2即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2.

例6、 (1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有?x－1?2＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.

所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)． (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由?y＝k?x－1??2

?y＝4x

，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. (7分)

4

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋2，x1x2

k＝1. (8分)

1

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－. 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得

kx3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)2(x4＋1)

＝ x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 (11分) 41

＝1＋(2＋2)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4(k2＋2)≥8＋432

1

????????1

当且仅当k＝，即k＝±1时，ADEB取最小值16.

k2

2

2

kkk222＝16.

k例7 、(1)抛物线y＝2px(p>0)的准线为x＝－，由抛物线定义和已知条件可知

2

|MF|＝1－(－)＝1＋＝2，解得p＝2, 故所求抛物线C的方程为y2＝4x.

22

2

ppp?y＝－1x＋b，2(2)联立??y＝4x2

消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝0.

依题意应有Δ＝64＋32b>0，解得b>－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－8，

y1y2＝－8b，设圆心Q(x0，y0)，则应用x0＝

x1＋x2

2

，y0＝

y1＋y2

2

＝－4.

因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r＝|y0|＝4. 又|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＝?1＋4??y1－y2?2＝ 5[?y1＋y2?2－4y1y2]＝5?64＋32b?

8

所以|AB|＝2r＝5?64＋32b?＝8，解得b＝－. 5所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝则圆心Q的坐标为(

48， 5

2424

，－4)．故所求圆的方程为(x－)2＋(y＋4)2＝16. 55

练习题

1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于 ( )

A．1 B．4 C．8

D．16

2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )

17

A．－ 16

B．－

157 C. 1616

D.15

16

3．(20112辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( ) 3

A.

4

5

B．1 C.

4

7D. 4

4．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )

A．相离

B．相交 C．相切

D．不确定

5．(20122宜宾检测)已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线

于

A、B

两点，则||FA|－

|FB||D．16

的值等于

( ) A．42 B．8C． 82

6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( )

A．(－2,1)

B．(1,2) C．(2,1)

D．(－1,2)

7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ( )

A．43 B．8 C．83 D．16

8．(20112陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 ( )

A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x

9．(20122永州模拟)以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．

11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那

????????么| FA| ＋| FB| ＝________.

12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________ 13．根据下列条件求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点； (2)过点P(2，－4)．

14．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直

?????????线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM与OP的夹π

角为，求△POM的面积．

4

练习题：

1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题

4意则有＝2解得a＝8.

4

aay1

2．解析：抛物线方程可化为x2＝－，其准线方程为y＝.设M(x0，y0)，则由抛物线

416115

的定义，可知－y0＝1?y0＝－.

1616

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