高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

y2?2px (p?0)抛 物 线 l y y2??2px (p?0)y x2?2py (p?0)y F O x l x2??2py (p?0)y O F l O x l x O F x F 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 {MMF =点M到直线l的距离} x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 范围 对称性 焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 焦半径 x?0,y?R 关于x轴对称 (p,0) 2关于y轴对称 pp,0) (0,) 22焦点在对称轴上 O(0,0) (?(0,?p) 2e=1 x??p 2x?p 2p 2y??p 2y?p 2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 p A(x1,y1) AF?x1?p 2AF??x1?p 2AF?y1?p 2AF??y1?p 2焦 点弦 长 ?(x1?x2)?p (y1?y2)?p ?(y1?y2)?p AB (x1?x2)?p 焦点弦 y o A?x1,y1?x B?x2,y2?F AB的几条性质A(x1,y1)B(x2,y2) 以AB为直径的圆必与准线l相切 若AB的倾斜角为?，则AB?2p2pAB? 若的倾斜角为，则 ?AB22sin?cos?p2x1x2? y1y2??p2 411AF?BFAB2???? AFBFAF?BFAF?BFp切线 y0y??p(x?x0) y0y?p(x?x0) 方程

一． 直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

x0x?p(y?y0) x0x??p(y?y0) ，消y得：

（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：y?kx?b 抛物线

① 联立方程法：

，(p?0)

?y?kx?b?k2x2?2(kb?p)x?b2?0 ?2?y?2px设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有??0,以及x1?x2,x1x2，还可进一步求出

y1?y2?kx1?b?kx2?b?k(x1?x2)?2by1y2?(kx1?b)(kx2?b)?k2x1x2?kb(x1?x2)?b2

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB的弦长

AB?1?k2x1?x2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?1?k2，

? a或 AB?1?11?22 y?y?1?(y?y)?4yy?1?k121212k2k2ax1?x2y?y2， y0?1 22b. 中点M(x0,y0), x0?② 点差法：

设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得

y1?2px1 y2?2px2 将两式相减，可得

22(y1?y2)(y1?y2)?2p(x1?x2)

y1?y22p?x1?x2y1?y2

2p y1?y2a. 在涉及斜率问题时，kAB?b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，

y1?y22p2pp， ???x1?x2y1?y22y0y0 即kAB?p， y0同理，对于抛物线x2?2py(p?0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，则有kAB?x1?x22x0x0?? 2p2pp（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存

在，且不等于零）

抛物线练习及答案

1、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之

和取得最小值时，点P的坐标为 。 2、已知点P是抛物线y2?2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 。

3、直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点，过A,B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q，则梯形APQB的面积为 。

????4、设O是坐标原点，F是抛物线y?2px(p?0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正

2????向的夹角为60，则OA为 。

?5、抛物线y2?4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是 。

6、已知抛物线C:y?8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK?则?AFK的面积为 。

22AF，

x2y2??1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程7、已知双曲线45为 。

8、在平面直角坐标系xoy中，有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线

y2?2px(p?0)焦点，则该抛物线的方程是 。

9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是

10、抛物线y??x上的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值是 。

11、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小

值是 。

12、若曲线y＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 。

13、已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ） A.3 B.4 C.32 D.42

14、已知抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，点P，y1)，P2(x2，y2)，P，y3)在抛物线1(x13(x3上，且2x2?x1?x3， 则有（ ）

222Ａ．FP1?FP2?FP3

Ｂ．FP1?FP2Ｄ．FP2222?FP32

Ｃ．2FP2?FP1?FP3?FP·FP3 115、已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是抛物线y2?2px(p?0)上的两个动点,O是坐标原点,

????????????????????????向量OA,OB满足OA?OB?OA?OB.设圆C的方程为x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0。

(1) 证明线段AB是圆C的直径;

25时，求p的值。 5????????????????????????2????????2解： (1)证明1: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)，

(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为????????????2????????????2????2????????????2 OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB，整理得: OA?OB?0，?x1?x2?y1?y2?0，

????????设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MA?MB?0，

即(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0，整理得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0， 故线段AB是圆C的直径。

????????????????????????2????????2证明2: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)，

????????????2????????????2????2????????????2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB，整理得: OA?OB?0，

?x1?x2?y1?y2?0……..(1)

设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即

y?y2y?y1???1(x?x1,x?x2)， x?x2x?x1去分母得: (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0，

点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)(x2,y2)满足上方程,展开并将(1)代入得:

x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0，

故线段AB是圆C的直径。

????????????????????????2????????2证明3: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)，

????2????????????2????2????????????2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB，

????????整理得: OA?OB?0，?x1?x2?y1?y2?0……(1)

以线段AB为直径的圆的方程为

(x?x1?x22y?y221)?(y?1)?[(x1?x2)2?(y1?y2)2]， 224

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