高等代数期末复习试题(2)

数学系《高等代数》期末考试试卷（A卷）

年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。 题号 一 二 三 四 五 总分 签 名 得分 一 装 得 分 阅卷教师 订线一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分）

1．任意数域F可以看成是它自身上的向量空间. ( ) 2．欧氏空间的两个子空间的并还是子空间． ( ) 3.一个向量组存在两个极大无关组，它们所含向量的个数不相同. ( ) 4．两个向量空间之间的同构映射?的逆映射??1还是同构映射. ( ) 5．若数域F上的两个n阶矩阵A、B相似，则A、B合同. ( ) 6．任何一个n阶实对称矩阵A都相似且合同于一个实对角矩阵. ( ) 7．两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩. ( ) 8．向量空间V的可逆线性变换?的核Ker(?)是空集. ( ) 9．两个n阶正交矩阵A、B的和还是正交矩阵. ( )

得 二 分 阅卷教师 二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分） 1. 下列命题正确的是 ( ) .

A. 线性变换保持向量长度不变； B. 对称变换保持向量的内积不变； C. 正交变换保持向量夹角不变； D. 线性变换保持向量的线性无关性. 2．两个n元实二次型等价的充要条件是( ) .

A．它们的秩相等； B．它们的惯性指标相等；

C．它们的符号差相同； D．它们有相同的秩和符号差.

3．数域F上所有对称矩阵的全体关于矩阵的加法及数乘所成的向量空间的维数是( ) .

n(n?1)n(n?1) A.； B.n?1； C.n2； D. .

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4. 向量空间R2中的下列变换，只有( )不是 R2的线性变换. A. ?((x,y))?(y,x)； B. ?((x,y))?(x,y)； C.?((x,y))?(0,0)； D.?((x,y))?(x?y,x?y) 5．设U是一个n阶酉矩阵，则 ( ) .

A. U的行列式等于1； B. U的特征根的模为1； C. U的行列式的模等于1或?1； D. U的特征根为1或?1. 三 得 分 阅卷教师 三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）

221. 3元实二次型f(x1,x2,x3)?x12?x2则m取值?2x3?2x1x3?2mx2x3是正定的，

范围为 .

2. 设A是n阶实对称矩阵,则A为正定的充要条件是 . 3. 向量空间R3中, 向量(1,2,3)在基{(1,1,1),(0,1,1),(0,0，1)}下的坐标为 .

4.设?是数域F上向量空间V的线性变换，W是V的子空间，则W是?的不变子空间的充分必要条件是 ．

5.在欧氏空间V中， ??,??VC?a,b?柯西-施瓦茨不等式成立，且等式成立：

?,???,??,?的充要条件是 ． 得 四 分 阅卷教师 2五． 计算题（每小题14分，共42分） 1．求齐次线性方程组

?x1?x2?x3?x4?0??x1?x2?x3?3x4?0 ?x?3x?3x?x?0234?1的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．

7

?200???2．设A??013?,求A的特征根及对应的特征向量.问A是否可以对角化？

?01?1???若可以，则求一可逆矩阵T，使T?1AT为对角形.

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3． 写出3元二次型q(x1,x2,x3)?x12?2x1x2?2x2x3的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.

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五 得 分 阅卷教师 五．证明题（每小题10分，共20分）

1．设?是数域F上n维向量空间V线性变换(n?0)，??V，若?n?1(?)?0,但

?n(?)?0,试证?,?(?),?2(?),?,?n?1(?)是V的一个基，并写出?关于此基的矩

阵．

2．设?是n维欧氏空间V的正交变换，同时又是对称变换，一规范正交基的矩阵，证明A2为单位矩阵．

A是?关于V的某10

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