数学系《高等代数》期末考试试卷
年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。 题号 一 二 三 四 五 总分 签 名 得分 一 装 得 分 阅卷教师 订线一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分）
1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( ) 2．若向量空间V的维数dimV?2,则V没有真子空间. ( ) 3. n维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( ) 4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( ) 5．每一个线性变换都有本征值. ( ) 6．若向量?是线性变换?的属于本征值?的本征向量，则由?生成的子空间 为
?的不变子空间. ( )
7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( ) 8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( ) 9. 若两个n阶实对称矩阵A,B均正定,则它们的和A?B也正定. ( )
得 二 分 阅卷教师 二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分） 1. 下列命题不正确的是 ( ).
A. 若向量组{?1,?2,?,?r}线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；
B. 若向量组{?1,?2,?,?r}线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；
C.若向量组{?1,?2,?,?r}线性无关，且每一?i可由向量{?1,?2,?,?s} 线
1
性表示，则r?s；
D. n(n?0)维向量空间的任意两个基彼此等价.
2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).
A．向量空间V的可逆线性变换是V到V的同构映射； B．数域F上的n维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n阶矩阵所成向量空间同构；
C．若?是数域F上向量空间V到W的同构映射，则??1是W到V的同构
映射；
D．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.
3．n阶矩阵A有n个不同的特征根是A与对角矩阵相似的 ( ).
A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件； C．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．
?2?1??x1?4．二次型q(x1,x2,x3)?(x1,x2)??31????x?? 的矩阵是( ).
???2??2?1??21???A．?； B．?31??11??；
?????3?10??210?????C．?310?； D．?110?
?000??000?????5.实二次型q(x1,x2,x3)?x?Ax正定的充分且必要条件是 ( ).
A．A?0； B．秩为3；
C．A合同于三阶单位矩阵； D．对某一x?(x1,x2,x3)??0,有x?Ax?0. 三 得 分 阅卷教师 三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）
1. 复数域C作为实数域R上的向量空间，它的一个基是________. 2. 设Fn?{(x1,x2,?,xn)xi?F,i?1,2,?,n}是数域F上n元行空间，对任
意(x1,x2,?,xn)?Fn，定义?((x1,x2,?,xn))?(0,0,x1,x2,?,xn?2)，则?是一个线性变换，且?的核Ker(?)的维数等于______.
3. 若A是一个正交矩阵，则A2的行列式A2=________.
2
4. 在欧氏空间R3中向量?1?(1,0,0)与?2?(0,1,0)的夹角?=______.
5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼
此等价，属于不同类的二次型互不等价.
得 四 分 阅卷教师 四． 计算题（每小题14分，共42分） 1．求齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4?0??3x1?2x2?x3?x4?0 ?x?2x?2x?034?2??5x1?4x2?3x3?3x4?0的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．
?100???2．设A??02?1?,求A的特征根及对应的特征向量.问A是否可以对角化？
?03?2???若可以，则求一可逆矩阵T，使T?1AT为对角形.
3
3． 写出3元二次型q(x1,x2,x3)?x1x2?4x2x3的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项. 五 得 分 阅卷教师 4
五．证明题（每小题10分，共20分）
1．设?1,?2为n阶矩阵A的属于不同特征根，?1,?2分别是A的属于?1,?2的特征向量，证明?1??2不是A的特征向量.
2．设?是n维欧氏空间V的正交变换，且?2??为单位变换，某一规范正交基的矩阵，证明A为对称矩阵．
A是?关于V的5
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