材料力学答案第十一章

50 第十一章 能量法

第十一章 能量方法

第十一章答案

11.1 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在F力作用下，桁架的变形能。

F F2F, FN3?

222FN1?FN2?1 A l 2 3 l l

B ?2?2?F?22?F?ll22??2?F(x)2V???Ndx?????

2EA2EA2EA3F2l2?. 4EA

11.2计算图示各杆的应变能。

Me 2A 2A A A l (a) A A B l C F A A x 1 C l/3 EI EI B 2l/3 x2 Me /l Me/l

(b) F2lF2l3F2l??(a) V??. 2EA4EA4EA?Me??Me?xx2?1???l/32l/3ll?dx???dx (b) V????12?002EI2EIl/322l/3??x2?Me2??x12?Me2l????????. ?2EIl2??3?0?3?0?18EI??22第十一章 能量法 51

11.3 传动轴受力情况如图所示。轴的直径为40mm，材料为45钢，E = 210GPa，G = 80GPa。试计算轴的应变能。

由扭转引起的应变能：

0.36kN (b) 1kN 0.08kN·m V?2??0.20802dx?0.032 2GIp200 2000 由弯曲引起的应变能：

V?1?2?0.20(531.4x)2dx?0.029 2EIV??V?1?V?2?0.061J.

11.4 计算图示梁的应变能，并说明是否满足叠加原理及其原因。

(Fl?Fx)2F2l3V???dx?

02EI6EIlMe=Fl F EI x l 而

V?1??(Fl)Fldx? 02EI2EIl223(?Fx)2F2l3V?2??dx?.

02EI6EIl不满足叠加原理，因为应变能与内力的关系不是线性的。

52 第十一章 能量法

11.5在外伸梁的自由端作用力偶矩Me，试用互等定理，并借助于附录E，求Me

A C 跨度中点C的挠度wc。

B D a l/2 l/2 （见课本下册p40例12-4）

11.6 图示刚架的各杆的EI皆相等，试求截面A、B的位移和截面C的转角。 q F ab l/2 A x A x 12C x3 x h l h

B (b) (a)

(a) A点：在A点加一个向下的单位力。M(x1)=0, M(x2)=Fx2, M(x3)=Fb

M(x1)?x1,M(x2)?Fx2,M(x3)?0 ???h0M(x3)M(x3)Fabhdx3??.

EIEIC点：在C加一个逆时针的力偶矩为１的单位力偶。M(x2)?1, M(x3)?1

???bhM(x)M(x)M(x2)M(x2)Fb2Fbh33dx2??dx3??.

0EIEI2EIEI01qlqx2(b) A点：在A点加一个向下的单位力。M(x)?x?, M(x)?x

2221?qlxqx2?x???l/2222?5ql4???2?dx?. 0EI384EIB点：在B点加一个向右的单位力。M(x)?h

第十一章 能量法 53

qlxqx2h(?)3lqlh22dx?. ???0EI12EI11.7 图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求节点C处的水平位移和

2F 垂直位移。

F C B 杆号 FN 1 F 0 0 l 2 -F 0 0 l 3 -2F 2 4 F -1 -1 l 5 0 0 0 l FN水平 FN垂直

l 0 2l A l D

水平位移：

???FNiFNiliEAi?1 22FlFl ???EAEAn??(1?22)Fl3.828Fl. ??EAEA垂直位移： Fl???.

EA11.8 图中绕过无摩擦滑轮的钢索的截面面积为76.36mm2，E索 = 177GPa。F = 20kN，(a) 假设横梁ABCD为刚体，求C点的垂直位移。(2) 若不把ABCD假设为刚体，且已知其抗弯刚度为EI = 1440kN.m2，试再求C点的垂直位移。 (1) ??2?11?F?0.8?7.89?10?4m. ??EA?33?0.4A B 60 ° 60 ° D C F 400 (2) ??7.89?10?4?2?0Fx24dx EI800 400 ?7.89?10?4?1.48?10?4?9.37?10?4m.

l 54 第十一章 能量法

11.9 等截面曲杆BC的轴线为四分之三的圆周。若AB杆可视为刚性杆，试求在F力作用下，截面B的水平位移及垂直位移。

水平位移：M(?)=FRcos?, M(?)?Rsin?

C F A B R ???3?20FRsin?cos?FRd??.

EI2EI33垂直位移：M(?)??R(1?cos?)

???3?20FR3cos?(1?cos?)(4?3?)FR3d??

EI4EI3.36FR3?.

EI

11.10 图示圆弧形小曲率杆，平均半径为R。力F垂直于圆环中线所在的平面。试求两个F力作用点的相对线位移。

M(?)=FRsin?, M(?)?Rsin? T(?)=FR(1-cos?), T(?)?R(1?cos?)

F O R ???2?0322?FR(1?cos?)FR3sin2?d???d?

0EIGIpA B F 3?FR3. ??EIGIp

?FR3

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