大一数学分析复习题(3)

C、若f?(x0)?0，则f(x0)?0； D、若f(x0)?0；则f?(x0)?0.

51.y?f(x)在点x0处的左、右导数存在且相等是f(x)在点x0处可导的 （ ）.

A、必要条件； B、充分条件； C、充分必要条件； D、无关条件.

?x2?1,0?x?152.设函数f?x???，则f??1?为（ ）.

1?x?3x?1,A、2； B、3； C、－1； D、不存在.

1. × ；2.∨；3、×；4、×；5、∨；6、∨；7、 × ；8、 ∨ ；9、 × ；10、 ∨ ；11、×；12、×；13、 ∨ ；14、×；15、∨ ；16、×；17、 ∨ ；18、∨ ；19、×；20、∨ ；21、 ∨ ；22、×；23、×；24、∨；25、× ； 1、D；2、B；3、D；4、A；5、C；6、A；7、C；8、B；9、A；10、C；11、D； 12、D；13、；C；14、A；15、B；16、B；17、D；18、C；19、D；20、B；21、A；22、B；23、D；24、C；25、B；26、C；27、A；28、D；29、B；30、D；31、D；32、C；33、C；34、D；35、A；36、C；37、C；38、B；39、C；40、B；41、A；42、B；43、B；44、B；45、D；46、D；47、D；48、B；49、A；50、B；51、C；52、D.

中值定理和罗比达法则

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值

?。

（1）

f(x)?2x2?x?3,[?1,1.5]；

（2）

f(x)?x3?x,[0,3]。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数

y?4x3?5x2?x?2在区间[0,1]上的正确性。

。

★3.已知函数

f(x)?x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξy?px2?qx?r应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ★★4.试证明对函数总是位于区间的正中间。

★5.函数

f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请

求出满足定理的数值ξ。

★★★6.设

f(x)在[0,1]上连续，1)内可导，在(0,且f(1)?0。求证：存在ξ?(0,1)，使f?(ξ)??f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)

，使得

f(ξ)。 ξ★★7.若函数

(a?x1?x2?x3?b)，证明：在(x1,x3)内至少有一点ξ★★8.若4次方程

f??(ξ)?0。

a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明：

4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0的所有根皆为实根。

★★★9.证明：方程

x5?x?1?0只有一个正根。

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★★10.不用求出函数

f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根，

并指出它们所在的区间。

★★★11.证明下列不等式：

（1）

arctana?arctanb?a?b ； （2） 当 x?1时，ex?ex ；

。

11?0，证明ln(1?x)?x； （4） 当x?0时，ln(1?)?x1?x2x?π(x?1). ★★12.证明等式：2arctanx?arcsin21?x（3） 设 x★★★13.证明：若函数

f(x)在(-?,??)内满足关系式f?(x)?f(x)，且f(0)?1，则f(x)?ex。

★★★14.设函数

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有

，使

f(a)?f(b)?0,f(c)?0(a?c?b) ，试证在(a,b)内至少存在一点ξ15.设

f??(ξ)?0。

f(x)在[a,b]上可微，且f??(a)?0,f??(b)?0,f(a)?f(b)?A,试证明f/(x)在(a,b)内至少有两个零点。

f(x)在闭区间[a,b]上满足f??(x)?0，试证明存在唯一的c,a?c?b，使得

f?(c)?f(b)?f(a)。

b?a★★★16.设

★★★17.设函数

y?f(x)在x?0的某个邻域内具有n阶导数，且

(n?1)f(0)?f?(0)???f(0)?0,试用柯西中值定理证明：

f(x)f(n)(θx)?(0?θ?1)。 nn!x★★1.用洛必达法则求下列极限：

1ln(1?)sinx?sinae?elnsinxx；

（1） lim； （2） lim； （3）lim； （4）lim2πx?ax?0x???arccotxx-asinxx?(π-2x)x?x2lntan7xtanx?xx3?1?lnxlim（5）lim； （6）lim； （7）

x??0lntan2xx?0x-sinxx?1ex?e1； （8）limxcotx?02x；

（9） limxx?02ex2； （10）limx(ex??1x11x1lim(?x)；lim(?)；?1)； （11） （12）x?0xx?1x-1lnxe?1ax1tanxex?ln(1?x)?1sinxx； （15）lim?()； （16）lim（13）lim(1?)； （14）lim； ?x??x?0x?0x?0xxx-arctanx1x1n22x(ln)lim(ntan)。lim(1?sinx)；lim(x?1?x)（17） （18）lim； （19）； （20）

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