大一数学分析复习题

数列极限练习题3n3?21.lim?_____n??2n3?nn?12.lim?_____n??3n2?n(?5)n?3n?23.lim?_____n??(?5)n?1?3n44.lim?______n??n2?3n?n2?11?2?3?4?....?(2n?1)?2n5.lim?_____n??n?1(?2)n?16.lim?______n??1?2?4?...?(?2)n?1n2?3?n)?______n??n?2111??18.lim????....?(?1)n?1n??______n??9273??37.lim(?n2?1?9.lim??an?b??0,则a?____,b?_____n???n?1?n10.(1)若lim(1?2x)存在,则实数x范围_____n??(2)已知无穷等比数列的各项和是4,则首项a1的取值范围是__11.已知lim(2an?bn)?5,lim(an?3bn)??1,求lim(an?bn)的值n??n??n??1?1?n?3??n(n?1)12.若an???3?1n?4??2n?1(1)liman(2)limSnn??n??Sn为数列?an?的前n项和,求13.数列?an?为等比数列,a1?a2?9,a1a2a3?27,前n项和为Sn,求limSnn??14.数列?an?为等比数列,a1??1,前n项和为Sn,求limSnn??S1031?,S53215.已知a?R?,且3n?1?2anlim?4limn??n??3n?2an求a范围1111??1????....?(?1)n?1n?1?,?39273??an?2,bn16.数列{an},{bn}都是公差不为0的等差数列,lim求lima1?a2?...?annb2nn??n??17.数列{an}为无穷等比数列,a1?1,an?k(an?1?an?2?...)求实数k的范围18.数列{an}是公比为q(q?0)的无穷等比数列,a1?a,前n项和为Sn,求limn??SnSn,lim2Sn?1n??a1?a22?...an219.无穷等比数列{an}公比为q,前n项和为Sn,limn??an?1?q?1,求q范围Sn1?a2?a4?...?a2n20.求limn??a?a3?a5?...?a2n?121.等比数列{an}公比为q,lim(n??a11?qn)?1?q2求a1取值范围 第 1 页 共 1 页

22.数列{an}前n项和为Sn,且Sn?1?(1)limSnn??(2)lim(a1S1?a2S2n??2an,求3?...?anSn)23.设正数等比数列{an},a2?4,a4?16,求limlgan?1?lgan?2?...?lga2nn??n224.数列{an}前n项和为Sn,an?5Sn?3,求n??lim(a1?a3?...?a2n?1)25.已知函数f(x)?x?2(1)求反函数f?12x?2(x?2)(x)?1(2)若正数数列{an}前n项和Sn对所有大于1的自然数n都有Sn?f(3)设Cnn??(Sn?1)且a1?2,求{an}通项公式an?12?an2?又设数列{Cn}前n项和为Tn,2an?1an求lim(Tn?n)的值 方法一：应用数列极限的定义(证明题)

用定义求数列极限有几种模式：

???0，（1）作差

（2）将

a?a，解方程a?a??，解出n?f???，则取N?f???或N?f????1,?

nnan?a适当放大，解出n?f???；

（3）作适当变形，找出所需N的要求。

方法二：常用方法：约去零因子求极限，分子分母同除求极限，分子(母)有理化求极限

?a??,b?都以a为极限，数列?c?满足：存在正整数N,当

n?N 时有： a?c?b 则数列?c?收敛，且limc?a。

方法三（迫敛性）设收敛数列

0nnn0nnnnn??n 方法四：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。

sinx11?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e 方法五：两个重要极限是limx?0x??n??x?0xxn方法六：（柯西收敛准则）数列N，使得当n，m?N时，有

1?a?收敛的充要条件是：对任给的??0，存在正整数

nma?an??

方法七：Stolz定理：设n>N时，（l为有限数或无穷大），则

yn?yn?1且

limyn??n???，若limn??x?xy?ynnn?1n?1?lxlimyn??nn?limn??x?xy?ynnn?1n?1?l

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方法八：形如

xn?1?f(xn)数列极限

方法九：用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式），．．常见等价无穷小有：当x?0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~e?1,

x1?cosx~12bx,?1?ax??1~abx； 2g(x) 方法十：用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求limf(x)数极限求解。

算术－几何－调和平均不等式： 对?a1,a2,?,an?R?, 记

极限，数列极限转化成函

a1?a2???an1n M(ai)? ? ?ai, (算术平均值)

nni?1 G(ai)?na1a2?an??? H(a)?in111????a1a2an??a?i??, (几何平均值) ?i?1??111?ni?1ainn1n?n1?i?1ain. (调和平均值)

有均值不等式: H(ai) ? G(ai) ? M(ai),等号当且仅当a1?a2???an时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对?x?0, 由二项展开式 (1?x)n?1?nx?n(n?1)2n(n?1)(n?2)3x?x???xn, 2!3!(n?1)

?(1?x)n?1?nx,（４）Cauchy－Schwarz 不等式: ?ak,bk(k?1,2,?,n),有

?n??n? ??akbk????akbk???k?1??k?1?（５）?n?N，

22?a?b2kk?1k?1nn2k

111?ln(1?)? n?1nn111?2?3???n?n(n?1)； 12?22?32???n2?n(n?1)(2n?1)

26 13?23?33???n3?112n(n?1)2； 14?24?34???n4?n(n?1)(2n?1)(3n2?3n?1) 430 第 3 页 共 3 页

15?25?35???n5?612n(n?1)2(2n2?2n?1)； 12 1?26?36???n6?1n(n?1)(2n?1)(3n4?6n3?3n?1) 42 17?27?37???n7?12n(n?1)2(3n4?6n3?n2?4n?2) 242?4?6???2n?n(n?1) 1?3?5???(2n?1)?n2

1?3?5???(2n?1)?22221n(4n2?1) 13?33?53???(2n?1)3?n2(2n2?1) 3

导数微分及应用习题

判断:

1、若f(x)可微，且为[?l,l]上的偶函数，则f?(x)必为[?l,l]上的偶函数；（ ） 2 若 f?x? 是??l,l?上的奇函数，则f?(x)必为??l,l?上的偶函数；（ ） 3、如果函数y?f?x? 在x0点 的左、右 极限都存在，则函数在x0点的极限存在（ ） 4、若函数f(x)在点x?x0连续，则f(x)在x0点可导 ； （ ） 5、若函数f(x)在点x?x0连续，则f(x)在x0点的极限一定存在；（ ） 6、若函数f(x)在点x?x0可微，则f(x)在x0点可导 ； （ ）

7、如果函数y?f?x? 在 x0点 的左、右 极限都存在，则f(x)在x0点可导 ；（ ） 8、若函数f(x)在点x?x0连续，则函数y?f?x? 在 x0 点 的左、右 极限都存在且相等；（ ）

9、若f(x)在x0点不可导，则函数f(x)在点x?x0一定不连续；（ ） 10、若函数f(x)在点x?x0不可微，则f(x)在x0点不可导 ； （ ） 11、若函数f(x)在点x?x0不可微，则f(x)的左、右 极限一定不存在；（ ） 12、设函数f(x)在x0点可导，导数为f?(x0)，则limf(x0)?f(x0??x)??f?(x0) （ ）

?x?0?x13、设函数f(x)在x0点可导，导数为f?(x0)，则lim

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f(x0??x)?f(x0??x)?f?(x0) （ ）

?x?02?x

14、设函数f(x)在x0点可导，导数为f?(x0)，则lim15、函数y?x?1在x?1处不可导；（ ） 16、函数y?x?1在x?1处不连续；（ ） 17. 若f?(x0)存在，且f?(x0)?0，则limf(x0?2?x)?f(x0)?f?(x0) （ ）

?x?0?xf(x0??x)?f(x0)?1 （ ）

?x?0f?(x0)??x18、若f(x)在[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上有界； （ ）

19、若f(x)在x0点导数不存在，则曲线y?f(x)在(x0,f(x0))点处没有切线；（ 20、曲线y?cosx上点????3,1?2??处的法线的斜率为23；（ ）

21.设y?f(x)在x?x0可微，则当?x?0时，

f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x是关于?x高阶的无穷小；（ ） 22、若limf(x)?f(a)x?a(x?a)2?l(0?l???)，则f(x)在x?a处不可导；

（ ） 23、若milf(x)?f(a)x?a(x?a)2?l(0?l???)，则f(x)在x?a处可导但f?(a)?0；（ 24、若milf(x)?f(a)x?a(x?a)2?l(0?l???)，则f(x)在x?a处可导且f?(a)?0；（ 25、若y?lnx?sin?2，则y??1x?cos?2； （ ） 1.设f(x)在x?x?(x0?h)?f?(x0?h)0的某个邻域内具有二阶连续导数，则hlimf?0h?（ A、0； B、f?(x0)； C、f??(x0)； D、2f??(x0)；.

2、设?(x)在x0的邻域内连续，且有f(x)?(x?x0)?(x)，则f?(x0)?（ A、0； B、?(x0)； C、??(x0)； D、?. 3.设f?(sin2x)?cos2x，则f(x)?（ ）.

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