2014年高考理科数学真题解析分类汇编：函数(17)

解得e－2<a<1.

当e－2<a<1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))． 若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])，

从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0. 又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.

故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.

由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增． 所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)<f(1)＝0， 故f(x)在(x1，x2)内有零点．

综上可知，a的取值范围是(e－2，1)． 18．、[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 18．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝1＋a－2x－3x2.

令f′(x)＝0，得x－14＋3a

1＝3，

x－14＋3a2＝3，x1<x2，

所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)． 当x<x1或x>x2时，f′(x)<0； 当x1<x<x2时，f′(x)>0.

故f(x)在 －1－4＋3a －1＋4＋3a

－∞，3 和 3，＋∞ 内单调递减，

在

－14＋3a－14＋3a 33内单调递增．

(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，

①当a≥4时，x2≥1.

由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，

所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a<4时，x2<1.

由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减， 所以f(x)在x＝x－14＋3a

2＝3

又f(0)＝1，f(1)＝a，

所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；

当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值； 当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．

18．[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝xcos x－sin x，x∈ 0π

2.

(1)求证：f(x)≤0；

(2)若a<sin x

πxb对x∈

0，2 恒成立，求a的最大值与b的最小值．

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