柯西不等式习题(5)

高中数学 柯西不等式习题集

x 12y 22z 32

) () ()[42 ()2 22] (42

2

x 1y 2 4．() 5．() 2． 45

z 3

() 25 1 (x y z 2)2 5 |x y z 2| 2

5 x y z 2 5 ∴ 3 x y z 7 故x y z之最大值为7，最小值为 3

【21】. 求2sin 3cos sin cos cos 的最大值与最小值。 答. 最大值为22，最小值为 22 【详解】

令向量a (2sin ，cos ， cos )，b (1，sin ，cos )

由柯西不等式 |a．b| |a||b|得 | 2sin cos sin cos cos | 4sin2 3cos2 cos2 ，

sin2 cos2 4(sin2 cos2 )(1 sin2 cos2 ) 22

所求最大值为22，最小值为 22

【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

(a2 b2 c2)(

1112

证明：由三角形中的正弦定理得 ) 36R222

sinAsinBsinC

14R214R214R2a

2，同理 2， 2于是左边= ，所以sinA 222

2RsinAasinBbsinCc4R24R24R22R2R2R2

(a b c)(2 2 2) (a a a ) 36R2。

abcabc

|Ax0 By0 C|

2

2

2

【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=

A B

22

.

证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得

22

(A2+B2［)(x-x0)2+(y-y0)2］≥［A(x-x0)+B(y-y0)］=［(Ax+By)-(Ax0+By0)］=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥

|Ax0 By0 C|

A B

2

2

.

|Ax0 By0 C|x x0y y0Ax By C

时,取等号,由垂线段最短得d=. 0202

22ABA BA B

111

【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围. x yy zz x

当

解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得

1111z111

( ≤

x yy zz x2xy2yz2zx2x y z

x

x y zy

)

x y z

5

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