柯西不等式习题(3)

高中数学 柯西不等式习题集

解： 2x 3y z 3 2x 3(y 1) z ( )，

考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

解析：[x2 (y 1)2 z2][22 ( 3)2 12] (2x 3y 3 z)2[x2 (y 1)2 z2]

xy 1z t , 2x 31 2

32

∴t ∴y

77

3y

z

3618

∴最小值 147

3

3, 2t(2 )t 3( 3t 1)

【13】 设a，b，c均为正数且a b c 9，则

4916

之最小值为abc

解：考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

2344916 2 2

(u v)2 u v ( a b c)2 ( )(a b c)

abcac

4916

( )．9 (2 3 4)2 81

abc491681 9

abc9

123

【14】、设a, b, c均为正数，且a 2b 3c 2，则 之最小值为________，此时a ________。

abc

解：考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

1223 2 2

(u v)2 u v [(a)2 (2b)2 (c)2][() ()2 ()2] (1 2 3)2

abc

123

∴( ) 18，最小值为18 等号发生于 u//v 故

abcb c ∴a 又a 2b 3c 2 ∴a

a1

a

2b2b

c3c

1 3

【15】. 设空间向量a的方向为 ， ， ，0 ， ， ，csc2 9 csc2 25 csc2 的最小值为 。

解∵ sin2 sin2 sin2 2 ∴ (sin2 sin2 sin2 )[(

123252

) () ()] (1 3 5)2 2(csc2 9csc2 25csc2 ) 81 sin sin sin

∴ csc2 9csc2 25csc2

8181

∴ 故最小值为 22

【16】. 空间中一向量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为 ， ， （ ， ， 均非象限角），

3

【注】本题亦可求tan2 9 tan2 25tan2 与cot2 9cot2 25cot2 之最小值，请自行练习。

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