柯西不等式习题(4)

高中数学 柯西不等式习题集

求

149

的最小值。

sin2 sin2 sin2

解 : 由柯西不等式

[((

122232

) () ()](sin2 sin2 sin2 ) sin sin sin

123

sin sin sin )2 sin sin sin

149

) () ()](sin2 sin2 sin2 ) (1 2 3)2 222

sin sin sin

149149

) 36 ( ) 18 222222

sin sin sin sin sin sin

(

∵ sin2 sin2 sin2 2 ∴ 2(∴

149

的最小值 18

sin2 sin2 sin2

【17】.空间中一向量a的方向角分别为 , , ，求

92516

的最小值。 222

sin sin sin

答72利用柯西不等式解之 【18】、设x, y, z R，若(x 1)2 (y 2)2 z2 4，则3x y 2z之范围为何？又3x y 2z发生最

小值时，x ？

2222222

答案：[( x 1) (y 2) z][3 ( 1) ( 2)] (3x 3 y 2 2z)

4(14) (3x y 2z 5)2

3x y 2z 5

5 3x y 2z 5 x 1y 2z

若3x y 2z 5 2又 t∴3(3t 1) ( t 2) 2( 2t) 5 2

3 1 2

3 1 ∴t ∴x

77

【19】 设 ABC之三边长x，y，z满足x 2y + z = 0及3x + y 2z = 0，则 ABC之最大角是多少度？

21111 2 x 2y z 0

【解】 x：y：z =：：= 3：5：7

1 2 2331 3x y 2z 0

(3k)2 (5k)2 (7k)21

设三边长为x = 3k，y = 5k，z = 7k则最大角度之cos == ，∴ = 120

2(3k)(5k)2

(x 1)2(y 2)2(z 3)2

1，求x y z之最大值，最小值。 【20】. 设x，y，z R且

1654

Ans 最大值7；最小值 3

【解】

(x 1)2(y 2)2(z 3)2

1 ∵

1654

由柯西不等式知

4

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