第十一知识块 推理与证明、数系的扩充与复数的引入 (3)(3)

且n＞1)．

11113证明：(1)当n＝2时，不等式的左边为＋＋＞1，故n＝2时表达式成立； 23412

1111(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N*)时不等式成立，即k1 kk＋1k＋2

那么，当n＝k＋1时，由k≥2得

1111111111＋＋＋＋ ＋＋ ＋＞1－＞1－＋kk＋1k＋kk＋1k＋2k＋1k＋2 k＋1 k＋2k＋1

1 1＋11 ＝1－1＋2k＋1

1＋k－ k＋

k k＋1 k＋1 k＋1 k＋1 k＋1 当k≥2时，k2－k－1＞0成立，故当n＝k＋1时不等式也成立

根据(1)和(2)可知，当n＞1，n∈N*时不等式都成立．

1．试证：当n为正整数时，f(n)＝32n2－8n－9能被64整除． ＋2

证明：证法一：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．

(2)假设当n＝k时，f(k)＝32k2－8k－9能被64整除． ＋

由于32(k1)2－8(k＋1)－9＝9(32k2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k2－8k－9)＋64(k＋1)．即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立． ＋＋＋＋

根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．

证法二：(1)当n＝1时，f(1)＝32－8－9＝64，命题显然成立．

(2)假设当n＝k时，f(k)＝32k2－8k－9能被64整除，由归纳假设，设32k2－8k－9＝64m(m

＋为大于1的自然数)，将32k2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k

＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题成立．根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*命题都成立． ＋＋

n1112．已知Sn＝1＋＋＋ ＋n，求证： >1＋n≥2，k∈N*)． 232

111252证明：(1)当n＝2时， ＝1＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立． 234122

k111(2)设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋ ＋＋2， 232k11111当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋ ＋＋＋2 2322＋12

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