质点运动学(2)(2)

则， vx?v0x??tta(t)dt?0?t0(100?4t2)dt?100t?43t3 0x? x?xtt432140??tvx(t)dt?0??(100t?3t)dt?50t?3t

00

§2.5平面直角坐标系 ? 抛体运动

一、平面直角坐标系

质点的平面运动是指质点在平面上的曲线运动（包括直线运动）。

1运动方程：作平面运动的质点的运动学方程在平面直角坐标系中的表示为： r??r?(t)?x(t)i??y(t)?j

由上式可知：平面运动状况需要由两个独立标量函数x(t)和y(t)决定。

?2 速度： v??drdx?dydt?dti??dtj 即：vdxdyx?dt,vy?dt 若已知vx,vy的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下： 大小： v?v22x?vy

方向：cos?vxv?v,cos?vyv?v ?v和?v为速度矢量的方向角。

3加速度： a??dv?dvxdt??dti?dvy?dtj?d2x?d2y?dt2i?dt2j 则：advxx?dt?d2xdvyd2ydt2, ay?dt?dt2 若已知ax,ay的大小，则瞬时速度的大小和方向可表示如下： 2 大小：

a?a2x?ay

cos?axa,cos?y方向：

a?aa?a

4若给出质点平面运动的速度和质点位置的初始条件：

t?t0时，x?x0,y?y0，vx?v0x,vy?v0y

11

x?x0??vxdtt0ty?y0??vydtt0t

vx?v0x??axdtt0tt

vy?v0y??aydtt0例题：已知质点作平面运动的加速度：

ax??Acostay??Bsint 初始条件：解：

，A?B?0,A?0

t?t0时，x0?A,y0?0，v0x?0,v0y?B

ttt00vx?v0x??ax(t)dt??A?costdt??Asintttt00

vy?v0y??ay(t)dt?B?B?sintdt?Bcost

x?x0??vx(t)dt?A?A?sintdt?Bcostt00tt

y?y0??vy(t)dt?B?costdt?Bsintt00tt

得到： x?Acost

y?Bsint

?x??y???????1?B?所以：?A?

二、抛体运动

将质点以和水平面成某一角度的初速度抛出去，若不考虑空气阻力，质点作抛体运动。 1、建坐标：以抛出点为原点，建0-xy坐标系

y ?初速度为v0，与x轴之间的夹角为α。 选择抛出时为计时起点，则

22x?v0cos??t12

y?v0sin??t?gt2???12?位矢：r?xi?yj?v0cos??ti?(v0sin??t?gt)

2轨迹方程：

α x

y?xtg??g2v0cos?22x2，

y ?r1?r2 此方程代表抛物线。 2、“矢量法”讨论：

将抛体运动视为沿初速度方向的匀速直线运动和自

?r α 12 x

由落体运动的合运动：

1?????r?r1?r2?v0t?gt22 ??dr??v??v0?gt

dt

§2.6自然坐标?切向和法向加速度

一、自然坐标

1、如图所示，沿质点运动轨迹建立一弯曲的坐标轴，选择轨迹上一点O’为“原点”，用由原点O’至质点所在位置的弧长S 作为质点位置坐标，若轨迹限于平面内，弧长S 叫做平面自然坐标。

S 的正方向：沿坐标增加的方向（人为规定），S 可正可负。

2、质点的运动学方程： S?S(t) 3、利用自然坐标对矢量进行正交分解： 沿切线方向：

切向单位矢量：沿曲线切线且指向自然坐标S 增加的方 向为单位矢量，通常用?表示。

沿法线方向：

法向单位矢量：沿曲线切向且指向曲线凹侧的单位矢量，用n表示。 A点的?和n如图所示 。

注意：任何矢量都可向?和n方向作正交分解。另外，?和n不是恒矢量，虽然大小时时刻刻都是1，

但它们的方向通常随质点位置的改变而变化。

二、速度 法向和切向加速度 1、 速度：

??????????r???由速度的定义：v?lim，当?t?0时，?r的方向趋于位移起点处的切线，?r的大小趋于对

?t?0?t???应的弧长 。如图所示：?t?0时，?r??s?，?s可正可负，?r的大小趋于对应的弧长 。

??r?s?ds???lim??? 则： v?lim?t?0?t?t?0?tdtds令 v?? 为速度在切向单位矢量方向的投影，

dt??v?v??，可见，速度只有切向投影，不存在法向分量。

注意：v? 不同于速率

：v?可正可负，而速率

仅大于零。

13

由dt?0，S增加的方向与?方向一致，若ds?0，

若ds?0，

?v??0，即质点沿??方向运动；

v??0，即质点逆??方向运动。

2、自然坐标中的加速度 （1）对圆周运动的讨论

????v?v2?v1?BC

在AC上截取AD=AB，

?v2 O α B α ?v1

A C ???所以?v?BC?BD?DC??v1??v2

若速度只有方向改变而大小不变，

?v2 ??v D B ??v1A ???v?v?BD ，所以 1是由速度的方向改变

而引起的变化量。

???v若速度只有大小改变而方向不变，?v?DC ，即2是由速度的大小改变而引起的变化量；

????v1?v2?v?a?lim?lim?lim?t?0?t?t?0?t?t?0?t根据定义：

1）由

????v1?BD,v1?v2?v,OA?OB?R,?BAC??AOB???vR

??v1

??v1故 ABvABv2an?lim?lim??t?0?t?t?0R?tR 则

式中v是质点在A处的速率。

结论：作变速圆周运动的质点具有沿法向单位矢量方向的加速度为法向加速度，是由于质点速度的方向变化而产生的。

??lim质点沿圆弧自A运动至B的快慢有时用角速率表示：

???t?0?t

R??v2v?lim?R?,则：an???2R?t?0?tR

??v?v?? 2）由

??????v1?v1??,v2?v2???,?t?0时，????

a??lim??v2?t?dv?dt

14

则

?t?0结论：作变速圆周运动的质点有一个沿切向单位矢量方向的加速度为切向加速度，是由于质点速度的大

小变化而产生的。 注意：

dv?dv与dt的意义不同，后者反映速率的变化率，前者因dt总为正，a?与dv?符号一致。 ①dt②

a?与v?符号相同时，加速运动；符号相反，减速运动。

???v2?dv??a?ann?a???n??Rdt总加速度：

（2）对一般平面曲线运动的讨论

曲率圆和曲率半径：在曲线轨迹上任取三点，这三点可以决定一个圆，若两侧的点无限靠近中间的A点，则他们所决定的圆讲无限接近于一个极限圆，叫做曲线在A点的曲率圆。曲率圆的半径ρ叫做曲线在该点的曲率半径。

质点作一般平面曲线运动时，质点的轨迹可以看作由无穷多个圆的局部组合而成。于是，把圆周运动加速度公式中的R换成曲率半径ρ，就可以适用于一般曲线运动。

a?an?a?22???v2?dv??v2?d2s?a?ann?a???n???n?2?

?dt?dt讨论：①a?是由速度大小变化而产生的，若a??0，则做匀速率运动。

是由速度方向变化而产生的，若

同方向。

，则做直线运动。

?

②a?与 时，a??0， a?与

?同向；

时，a??0， a?与

3?反向。

例题1：汽车在半径为200米圆弧形公路上刹车,刹车开始阶段的运动学方程为s?20t?0.2t (长度:m,时间:s)，求t=1s时的加速度。

???v2?dv??n?? 解：由a?ann?a???Rdtv??ds?20?0.6t2(m/s) t=1s时 dt2v?(20?0.6)2?m/s2?1.88m/s2 则 an?r200a??dv???1.2t??1.2m/s2 dt a?a??an?2.23m/s2

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