质点运动学(2)

第二章 质点运动学

运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。

§2.1 质点的运动学方程

一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系o?xyz，从坐标原点向该质点引一条有向线段op，用r表示。

1、 位置矢量

定义：自参考点（原点o）引向质点P所在位置的矢量。

????y? 质点位矢在直角坐标系中的表示：r?xij?zk

??? i,j,k分别为沿x轴，y轴，z轴正方向的单位矢量，x,y,z称为质点

的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。

位矢的大小： r?r?y P(x,y,z) ??x2?y2?z2

z 位矢的方向（用方向余弦表示）：

xyz,cos??,cos?? rrrcos2??cos2??cos2??1 cos???j β ???γ k? ?α ?x ?,?,?分别为位矢与x轴，y轴，z轴正方向的夹角。

2、质点的运动学方程

由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：r?r(t) 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。

??????方程在直角坐标系中的正交分解式：r(t)?x(t)i?y(t)j?z(t)k

质点运动学方程的标量形式为： x?x(t),y?y(t),z?z(t) 3、质点的运动轨迹

质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。

由运动学方程消去t得： f(x,y,z)?0

[例] 一质点的运动学方程为：r?Rcosti?rsintj，求其轨迹。 解：由已知，

???x?Rcosty?Rsint ，则轨迹方程：x?y?R，圆心在原点。

222二、质点的位移和路程

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1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用?r表示。 ?r?r(t??t)?r(t)

??????????位移在直角坐标中的正交分解式： ?r?r(t??t)?r(t)??x(t)i??y(t)j??z(t)k

注意：质点的位移是矢量，其大小 ?r??r?r2?r1 2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用?l表示。

注意：质点的路程是标量，一般情况下，同一时间间隔内的路程和位移的大小并不相等。 无限小位移时：dr?dl

??§2.2 瞬时速度矢量和瞬时加速度矢量

一、平均速度与瞬时速度 1、平均速度

?????rr(t??t)?r(t)? v? ?t?t定义：质点的位移与发生这段位移的时间间隔之比，即位矢对时间的平均变化率。

注：平均速度仅能提供一段时间内位置变动的方向和平均快慢，却不能精细地描述质点在每一时刻的运动及快慢。 2、瞬时速度

?t?0时，将平均速度取极限即可：

???rdr??? v?limv?lim

?t?0?t?0?tdt???rdr?其大小：v?v?lim，称为瞬时速率，表示质点在该瞬时运动的快慢； ??t?0?tdt其方向：沿轨迹质点所在处的切线并指向质点前进的方向。

瞬时速度简称速度。

????瞬时速度在直角坐标系中的正交分解式：v?vxi?vyj?vzk

??drdx?dy?dz?v??i?j?k

dtdtdtdtdxdydz,vy?,vz?则：vx? dtdtdt若已知vx,vy,vz的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下：

大小： v?vx?vy?vz

222vyvxv,cos?v?,cos?v?z 方向：cos?v?vvv

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3、平均速率

v??l ?t注意：平均速率并不是平均速度的大小，仅当质点在直线上沿固定方向运动时，平均速率才等于平均速度的大小。

二、平均加速度与瞬时加速度 V(t) ΔV 1、平均加速度

?????vv(t??t)?v(t)? a? ?t?tV(t+Δt) V(t) 定义：质点的速度增量与发生这一增量的时间间隔之比，即速度矢量对

时间的平均变化率。

注：平均加速度仅能提供一段时间内速度变动的方向和平均快慢，其方向沿速度增量的方向。 2、瞬时加速度

?t?0时，将平均加速度取极限即可：

????vdvd2r??a?lim??2 a?lim?t?0?t?0?tdtdt???vdv?其大小：a?a?lim，表示速率在该瞬时变化的快慢； ??t?0?tdt其方向：沿速度矢端曲线的切线并指向与t增加相应的方向。

瞬时加速度简称加速度。

????加速度在直角坐标系中的正交分解式：a?axi?ayj?azk

??dvdvx?dvy?dvz?d2x?d2y?d2z?a??i?j?k?2i?2j?2k

dtdtdtdtdtdtdtdvyd2ydvxd2xdvzd2z?2,ay??2,az??2 则：ax?dtdtdtdtdtdt若已知ax,ay,az的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下：

大小： a?ax?ay?az

222方向：cos?a?

ayaxa,cos?a?,cos?a?z aaa§2.3 质点的直线运动-从坐标到速度加速度

一、运动学方程

1、坐标系的选择：研究直线运动，最好选择只含一个坐标轴的坐标系。比如：Ox、Oy、Oz，其原点位于参考系的参考点上，坐标系与质点轨迹重合。 2、运动学方程：设坐标系为Ox

???r?r(t)?x(t)i

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由于坐标系与质点轨迹重合，位矢的矢端与坐标x一一对应，则将方程写成： x?x(t)

比如：x?t3?5t?2,x?x0e?2t,x?sint?5cost 3、位移：?r??xi,?x?x2?x1

???x 的大小反映了位置变动的多少。

二、速度和加速度

???drdx??i?vxi 1、速度： v?dtdt讨论：当vx?0,质点运动方向与x轴正向相同；

当vx?0,质点运动方向与x轴正向相反； 2、加速度

??d2x?dvdvx??i?axi,ax?2 a?dtdtdt讨论：ax的正负不能决定质点是加速还是减速运动；

当ax与vx同号时，质点做加速运动； 当ax与vx反号时，质点做减速运动。 三、匀速直线运动和变速直线运动 1、 匀速直线运动：vx?c （c为恒量）；

x?x0?vxt

质点在任意相等的时间内通过的位移相等 2、匀变速直线运动： ax?c（c为恒量）

vx?v0x?axt

例如竖直上抛、自由落体运动等

例题：将真空长直管沿铅直方向放置。自其中O点向上抛小球又落至原处所用的时间为T2。在小球运动过程中经过比O点高H处。小球离开H处至又回到H处所用时间为T1。现测得T1、T2和H，试决定重力加速度g。

解：将小球视为质点，建立以O为原点铅直向上的坐标系O-y，如图，测T2时，质点初始坐标为

y0?0，设其初速度为v0y?v2。因小球O时终坐标亦为y?0，有

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0?0?v2T2?12gT2 2同理，设测T1时小球经H向上的速度为v0y?v1，又有

H?H?v1T1?12gT1 222y 小球自H高处落至O，有 v2?v1?2gH 从上面三式消掉v1和v2，即得

H

g?

8HT2?T122O

t §2.4 质点的直线运动-从加速度到速度和坐标

一、从速度到运动学方程和位移 1、由 vx?dx，则x是vx的一个原函数，若已知速度vx(t)，可通过不定积分求的与之对应的愿函数： dtdxx??vx(t)dt??dt?x(t)?c， c为任意常数

dt2、如再给出t?t0时，x?x0的条件，则x?x0?x(t0)?c,?c?x0?x(t0) 3、由定积分知识：x(t)?x(t0)? x?x0?tx?vt0tx(t)dt

?v(t)dt

t0x只要给定位置坐标的初始条件，便可根据质点的速度唯一地确定质点的运动学方程。 4、位移：?x?x?x0??v(t)dt，与初始条件无关。

t0t二、从加速度到速度和运动学方程 1、由 ax?dvx， vx??ax(t)dt?vx(t)?c，c为任意常数 dt 给定：t?t0时，vx?v0x的条件，则?c?v0x?vx(t0)

vx?v0x?[vx(t)?vx(t0)]?v0x??ax(t)dt

t0t2、只要给出位置坐标的初始条件，即可求出运动学方程。 例题：已知质点做直线运动，其加速度随时间的变化规律为：

a(t)?100?4t(m/s)

初始条件：t?0时，v0x?0,x0?0

解：建坐标O-x 沿质点运动方向，圆点在质点初始时所在的点，

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