导数与微分（经典课件）(2)

②极值不可能在一区间端点取得，只能在区间内部取得；最值无此限制；

③若f在点x0取得最值，当x0为区间端点时，则此最值不是极值，但当x0为区间内部的点时，

则此最值一定是极值。

2．费马（Fermat）定理：

从图象上可以看到，若点x0为函数f的极值点，且点?x0,f(x0)?处曲线的切线存在（f在x0点可导），那么此切线应平行于x轴（f'(x0)?0）。从而有：

定理5.3 (费马定理) 若点x0为函数f的极值点，且f在x0点可导，则必有f'(x0)?0. 证明：这里以极大值的情形给予证明，对极小值情形类似可证之。

设x0为函数f的极大值点，则对一切x?U(x0)都有f(x0)?f(x)，于是， 当x?x0时：

f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)?0；当x?x0时：?0.

x?x0x?x0 由函数极限的保不等式性有： f?(x0)?lim?x?x0'f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)?0且f?'(x0)?lim?0， ?x?xx?x0x?x00 又知f'(x0)存在，故由定理5.2便知f'(x0)?0。

说明：①稳定点：称满足f'(x0)?0的点x0为函数f的稳定点（求法：解方程f(x)?0）；

3②稳定点不一定是极值点（如函数y?x，点x?0为稳定点但不是极值点）；

③极值点不一定是稳定点，只有加上可导条件极值点才是稳定点（如函数f(x)?x，点x?0为极值点但不是稳定点）。

y y

y?x3 y?x 0 x 0 x

3．达布（Darboux）定理：

''' 定理5.4 (达布定理，导函数的介值定理) 若函数f在?a,b?上可导，且f?(a)?f?(b)，k为介于f?(a)与f?(b)之间的任一实数，则至少存在一点???a,b?，使得f(?)?k.

'' y

f?(a) f?(b)

'' a 0 b x

证明：不妨设f?'(a)?f?'(b)，则f?'(b)?k?f?'(a)（此处介于指不等式严格成立）

引入函数F(x)?f(x)?kx,x??a,b?

?f(x)在?a,b?上可导，由定理5.1知f(x)在?a,b?上连续，?F(x)在?a,b?上连续，

由闭区间上连续函数的最值定理则：存在一点???a,b?，使得F(?)为F(x)在?a,b?上的最大值， 欲利用费马定理来证F'(?)?0，需证以下两个方面： （ⅰ）?为F(x)在?a,b?上的极大值，只需证??a且??b； （ⅱ）F(x)在点x??可导；

?f(x)?kx???f(a)?ka? F(x)?F(a)?limx?ax?a?x?ax?a?f(x)?f(a)???k(x?a)??limf(x)?f(a)?limk?f'(a)?k?0?(1)

?lim?x?a?x?a?x?a?x?ax?a?f(x)?kx???f(b)?kb? F(x)?F(b)'?lim同理：F?(b)?limx?b?x?b?x?bx?b?f(x)?f(b)???k(x?b)??limf(x)?f(b)?limk?f'(b)?k?0?(2)

?lim?x?b?x?b?x?b?x?bx?b?f(x??x)?k(x??x)???f(x)?kx? F(x??x)?F(x)'?lim F(x)?lim?x?0?x?0?x?x?f(x??x)?f(x)??k?x?f'(x)?k?(3)

?lim?x?0?xF(x)?F(a)?0，所以F(x)?F(a)，（1）式说明：?U?(a)??a,b?，对一切x?U?(a)都有

x?a为此：F?(a)?lim?'于是a不是F(x)在?a,b?上的最大值点，即??a； （2）式说明：?U?(b)??a,b?，对一切x?U?(b)都有

于是b不是F(x)在?a,b?上的最大值点，即??b；

（3）式说明：对一切x??a,b?，F(x)都存在，则对???a,b?，F(?)当然存在，且有

''F(x)?F(b)?0，所以F(x)?F(b)，

x?bF'(?)?f'(?)?k。

从而，由费马定理便知F(?)?f(?)?k?0，即有f(?)?k(??(a,b)).

'''

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