导数与微分（经典课件）

导数与微分

? 引 言

导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。

求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；

3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。

§1 导数的概念

教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。

教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义

出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。

教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 教学难点：导数的概念。 教学方法：讲授与练习。 学习学时：3学时。

一、导数的定义：

1．引入（背景）：

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。

问题1。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为s?s(t)，若t0为某一确

定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。

取临近于t0时刻的某一时刻t，则质点在?t0,t?或?t,t0?时间段的平均速度为：v?s(t)?s(t0)，

t?t0s(t)?s(t0)。

t?t0 当t越接近于t0，平均速度就越接近于t0时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：v?limt?t0问题2。曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为y?f(x)，求此曲线在点P(x0,y0)处的切线。 在曲线上取临近于P点的某点Q(x,y)，则割线PQ的斜率为：k?tan??f(x)?f(x0)，

x?x0 当Q越接近于P，割线PQ斜率就越接近于曲线在点P处的斜率，于是曲线在点P处的斜率： k?limx?x0f(x)?f(x0).

x?x0 2．导数的定义：

以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数y?f(x)在x0的某邻域内有定义，若极限limx?x0f(x)?f(x0）存在，则称函数f在点x0

x?x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)或

'dy. dxx?x0 定义1 令?x?x?x0，?y?f(x0??x)?f(x0)，则上述定义又可表示为： f'(x0)＝

f(x0??x)?f(x0)dy?y?lim?lim. ?x?0?x?0dxx?x0?x?x即：函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。

例1．已知函数f(x)?x2，求f'(1).

f(x)?f(1)x2?1?lim?lim(x?1)?2； 解：f(1)?limx?1x?1x?1x?1x?1'f(1??x)?f(1)(1??x2)?1?lim?lim(?x?2)?2。 或f(1)?lim?x?0?x?0?x?0?x?x'1?2?xsin 例2．已知函数f(x)??x??0 解：f(0)?limx?0'x?0x?0，求f'(0).

f(x)?f(0)1?limxsin?0. x?0x?0x 例3．已知函数f(x)?x，求f'(0).

解：?f(x)?f(0)f(x)?f(0)x?1x?0，?lim不存在 ???x?0x?0x?0x??1x?0故函数f(x)?x在点x?0处不可导。

例4．已知函数f(x)?3x，求f'(0).

3f(x)?f(0)x1 解：lim?lim?lim???，故函数f(x)?3x在点x?0处不可导。

x?0x?0xx?03x?0x2二、导数的几何意义：

通过对引例2我们已经看到，已知曲线方程y?f(x)，若f(x)在点x0可导，那么曲线y?f(x)在点?x0,f(x0)?存在切线，并且切线斜率为f(x0)。

'3 注：若曲线y?f(x)在点?x0,f(x0)?存在切线，那么f(x)在点x0可导吗？（不一定，如y?x在0点）。

y=f(x)

f'?0 f'?0 f'?0 0

切线方程（点斜式）：y?y0?f'(x0)(x?x0)； 法线方程（点斜式）：y?y0??1(x?x0)。 'f(x0)例5．求曲线y?x3在点P(1,1)处切线与法线方程。

dyy?y(1)x3?1解：??lim?lim?lim(x2?x?1)?3，

x?1x?1x?1dxx?1x?1x?1? 切线方程：y?1?3(x?1)，即：3x?y?2?0；

法线方程：y?1??(x?1)，即：x?3y?4?0.

13三、可导与连续的关系：

1．定理5.1 若函数f在点x0可导，则f在点x0连续。 证明：函数f在点x0可导，由导数定义知lim?y?lim?x?0?y?y??x?lim?lim?x?f'(x0)?0?0，

?x?0?x?x?0?x?x?0 所以f在点x0连续（P69最下式）。 2．若函数f在点x0连续，则f在x0不一定可导。

如例3中，函数f(x)?x在点x0?0连续，但是不可导。 y

f(x)?x

0 x

例6．证明函数f(x)?xD(x)仅在点x0?0处可导。 其中D(x)为狄利克雷函数：D(x)??2?1当x为有理数。

?0当x为无理数2 证明：当x0?0时，由归结原则可得函数f(x)?xD(x)在点x?x0不连续，所以由定理5.1便知它在

x?x0处不可导；

当x0?0时，f(0)?limx?0'f(x)?f(0)?limxD(x)?0，说明它在x0?0处可导； x?0x?0综上便知函数f(x)?x2D(x)仅在点x0?0处可导。

四、单则导数：

若只研究函数在某一点x0右邻域（左邻域）上的变化率，只需讨论导数定义中极限的右极限（左极限），于是我们引入单则导数的概念。

1．定义：

定义2 若函数f(x)在U?(x0)有定义，定义右导数为： f?(x0)?lim?x?x0'f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)； ?lim??x?0x?x0?x 若函数f(x)在U?(x0)有定义，定义左导数为： f?(x0)?lim?x?x0'f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?lim?. ?x?0x?x0?x 右导数和左导数统称为单则导数。

2．由左、右极限与极限之间的关系容易得到左、右导数与导数之间有如下关系：

定理5.2 函数f(x)在点x0可导，且f'(x0)?a?函数f(x)在点x0即左可导又右可导，且 f?'(x0)?f?'(x0)?a.

?1?cosxx?0 例7．设函数f(x)??，讨论函数f(x)在点x?0处的左、右导数与导数。

xx?0?1?cos?xf(0??x)?f(0)?????x 解：由于

?x?1??x?0?x?02，

?x?x??2sin2sin??1?cos?x1?'22???x?0， ?lim??lim??所以f?(0)?lim??x?0?x?0?x?02??x??x?x???2?1?1. f?(0)?lim??x?0'由定理5.2可知函数在点x?0处不可导。

五、导函数：

1．可导函数：

若函数f在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称f为I上的可导函数。 2．导函数：

区间I上的可导函数f，对每一x?I，都有一个导数（或单则导数）与之对应，这样定义了一个在I

,,?? 上的函数，称之为函数f在区间I上的导函数，简称为导数，记作f(x),y,dxdx 即：f(x)?lim'?x?0''dfdyf(x??x)?f(x),x?I（求解时只需将x看作固定常量即可）。

?x 例8．求以下函数的导数（以下结果需熟记）： （1）常函数f(x)?C，（其中C为常数）； （2）三角函数f(x)?sinx,f(x)?cosx； （3）对数函数f(x)?logax(a?0,a?1,x?0). 解：（1）?C??lim'?x?0f(x??x)0?0?lim?0，即：?C?'?0； ?x?0?x?xf(x??x)?f(x)sin(x??x)?sinx?lim?lim?x?0?x?0?x?0?x?x?xsin2?cos(x??x)?cosx， ?lim?x?0?x22 （2）?sinx??lim'2cos(x??x?x)sin22 ?x即：?sinx??cosx；类似可求出：?cosx???sinx.

''（3）?logax??lim'?x?0loga(x??x)?logaxf(x??x)1?x?lim?lim?loga(1?) ?x?0?x?0?x?x?xx?xx1?x) ?limloga(1??x?0xx 即：?logax??'?1logae， x11logae,lnx?. xx六、函数极值：

1．极值定义：

定义3 若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x?U(x0)有f(x0)?f(x)（f(x0)?f(x)），则

称函数f在点x0取得极大（小）值，称点x0为极大（小）值点，称f(x0)为极大（小）值，极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值。

y

a x1 x2 0 x3 x4 b x 说明：①极值为局部概念，极值与极值点均可以有多个；最值为整体概念，若存在则必唯一；

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