流体力学讲义(3)

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2．非恒定流——流体空间各点有一个运动要素随时间改变即为非恒定流。 （1）函数关系： u = u ( x ,y, z，t ) p = p ( x ,y ,z，t ) （2）特点： 与恒定流相反。

3．恒定流与非恒定流的判别标准：可据当地加速度是否为零加以判断。

恒定流与非恒定流相比，在欧拉变量中少了一个变量t，从而使问题变得相对简单，故在工程中通常 可将非恒定流问题简化为恒定流来处理（运动要素随时间变化不太大，不影响计算精度）。在实际工程中， 绝对的恒定流几乎不存在。

二．均匀流与非均匀流 ——按运动要素是否随流程改变来划分。

1．均匀流——某时刻，流体各相应点（位于同一流线上的点）的流速都不随流程改变的流动。

特点： 1> 流体的迁移加速度为零； 2> 流线是平行的直线； 3> 各过流断面上流速分布沿程不变。

2．非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不同的流动。

特点： 与上反。

3．均匀流与非均匀流的判别标准：可据迁移加速度是否为零来判断。 恒定均匀流

4．注意：（1）恒定流与均匀流的概念区别； 恒定非均匀流 （2）据以上对流体流动的两种分类方法，可将流动分为四种形式。即： 非恒定均匀流 非恒定非均匀流

三．渐变流与急变流 ——按流线是否接近平行直线来划分。

1．渐变流——流线之间夹角很小，各流线为近似的平行直线。

特点： （1）过流断面近似平面；

（2）同一过流断面上，流体各点的动压强分布符合静压强分布。 （3）均匀流是渐变流的特例，同时具有以上两点。 简单分析：

在流场相邻的两条流线上任取两点A、B，围绕A、B作微元面积dA。

在两流线之间作如图所示的微元体，然后，分析该微元体的受力情况。 由于流体在z方向上没有流速，故z方向上的合力应平衡。 假设：

A 压强为p1 面积为dA B 压强为p2 面积为dA 微元体的密度为ρ 平衡方程： p1 dA - p2 dA + ρg dA dl cosθ= 0

其中： cosθ=（z1 - z2）/ dl 代入上式即可得证。

2．急变流——流线间的夹角较大，流线的曲率半径较小的流动。如突扩、水跌等。 特点：无渐变流的特点。 3．渐变流、急变流是相对而言的，两者的区分要视工程精度而言。渐变流简单、易计算、分析。

四．有压流、无压流、射流（按总流边界的限制情况划分）

1．有压流——流体的流动边界全部是固体的流动。如给水管路。 2．无压流——具有自由表面的流体流动。如明渠、无压涵管等。 3． 3．射流——流体经孔口或管嘴喷射到空间的流动。

五．一元、二元、三元流（按空间坐标函数分）

1．一元流——运动要素是一个空间坐标及时间的函数。 2．二元流——运动要素是两个空间坐标及时间的函数。 3．三元流——运动要素是三个空间坐标及时间的函数。

§3—4 流体运动连续性方程

方程推导应遵循的原则： （1）满足质量守恒定律； （2）流体是连续介质； （3）流体不可压缩。 所涉及的两种概念： （1）系统；（2）控制体。

一．系统、控制体

1．系统——由确定的流体质点组成的流体团（即一团确定的流体质点的集合）。

系统边界——把系统和外界分开的真实或假象的界面。

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（1）系统边界的特点：

1> 系统的体积边界面形状、大小随时间改变； 2> 边界上受外力作用； 3> 在系统边界面上无质量交换； 4> 边界上可有能量交换。 定义了系统后，即可利用质量、能量、动量守恒定律，推导流体的运动方程。

（2）系统的概念对应的是拉格朗日法，即以确定的质点为研究对象。我们在工程实际中一般是采用欧拉法，

故引进相应的概念—控制体。

2．控制体——流场中一固定不变的空间体积。 控制面——控制体的边界面，是一封闭的表面。 （1）控制面的特点： 1> 控制面相对于坐标系固定不变； 2> 控制面上可以有质量交换；

3> 控制面上受到外力作用； 4> 控制面上可以有能量交换；

（2）控制体的概念对应的是欧拉法，即以固定的空间点为研究对象。

二．流体运动连续性微分方程

1．方程：

（1）可压缩流体运动微分方程： （2）均匀不可压缩流体运动微分方程：

??uy??uz????ux????0?t?x?y?z2．简单分析：

?uy?ux?uz???0?x?y?z3．此式给出了流体通过某固定点时，流体的三个速度分量之间的关系。表明对不可压缩流体，单位时间内流入与流出某空间点的 流体体积之差为零，即体积（质量）守恒。

三．总流的连续性微分方程（恒定、均匀、不可压缩流体）

此方程的推导依据是： 质量守恒及恒定流的特性。

1．方程： （1） 元流的连续性方程： u1dA1= u2dA2 = dQ （2） 总流的连续性方程： v1A1= v2A2 = Q

2．适用范围： 1> 汇流、分流； 2> 理想、非理想流体； 3> 不涉及任何作用力。

§3—5 流体微团运动的基本形式（了解）

为了分析整个流场的运动情况，可先分析六场中任一流体微团的运动情况。

（1）质点——众多流体分子的集合体。是可以忽略线性尺寸效应（如膨胀、变形、转动）的最小单元。 （2）微团——是众多流体质点的集合。是具有线性尺寸效应的微小流体团。

一．流体微团运动分析

1．流体与刚体运动的比较：

（1）刚体的运动形式有： 平移 和 转动

（2）流体的运动形式有： 平移 、 转动 和 变形（线变形及角变形） 2．流体微团运动分析： y C1 D C y D1 C1 D1 D C A1 B1 A B A( A1) B x x 平移 转动 D C C D A B

A B 线变形 角变形 3．变形速率：

（1） 平移速度： ux

、uy （ ←流体微团平移运动速度）

（2）线变形速度(线变率)： —— 单位时间单位长度上的先变形。 流体微团

?xx?u?x?x?yy??uy?y?u?zz?z?z在x,y,z方向上的线变形速13

（3） 角变形速度（角变率）：——单位时间内的角变形。

?zx??xz??xy??yx?yz??zy（4）．角转速：

?uz1?ux(?)2?z?x?uy1?ux?(?)2?y?x?uz1?uy?(?)2?z?y注：描述流体微团的运动形态可用以下九个变量，即： ?xx?xy?x ?yy?zy?y?zz?xz?z ?x?(1?uz?uy?)2?y?z?y?(1?ux?uz?)2?z?x?z?(1?uy?ux?)2?x?y

§3—6 有旋流与无旋流

按流体微团有无旋转，可将流体的流动分为有旋流与无旋流。 一． 无旋流（无涡流、有势流）

——流体微团的旋转角速度为零的流体运动。 即： ωx = 0 ?uz? ωy = 0 u y ? ux? ωz = 0 ?y?z?z

?u?z?x?ux?uy??y?x 二．有旋流

——如果流场中存在角转速，即为有旋流。

1．角速度的方向： 符合右手法则（大拇指指向旋转轴的正向，四指的指向即角速度方向）。

在流场中，流体质点不仅存在流速，形成速度场，还会在有角转速时形成角转速场或称涡旋场。 为此引进涡旋场的概念。 2．有关涡旋场的概念：

（1） 涡线——同一时刻，由不同质点组成的曲线。可以看成是流体微团瞬时转动的轴线。

1>方程： 2>特征：

涡线与流线不重合，但可相交； 两条涡线不相交； 在恒定有旋流中，涡线的形状、位置不变。 （2）涡管——在流场中任取一非涡线的封闭曲线，从曲线上各点作涡线，所形成的封闭管状曲面。 （3）涡束——涡管内（绕涡线作旋转运动）的流体。

（4）涡旋横断面——在涡束上，与所有涡线都正交的横断面。 （5）元涡——涡旋横断面无限小的涡束。

（6）涡通量——涡旋断面面积与两倍角转速的乘积。

取 Ω= 2ω 其中：Ω——表示旋度、涡度。 涡通量： dI =ΩdA = 2ωdA

dx /ωx = dy /ωy = dz /ωz I = ∫A ΩdA =2∫Aωn dA dA n I = ∫∫AΩ n dA Ω 其中： n微元面积dA的外法线单位向量。

（7）速度环量——表示涡强弱的量，是有涡流的一个重要概念。 1> 速度环量一般式： Γl =∫l（ u x dx + u y dy + u z dz） 2> 沿封闭线段上的速度环量： Γ =∮l（ u x dx + u y dy + u z dz）= 0 3> 速度环量的符号：与流场的速度及积分的绕行方向有关。

其中：积分路线的方向——曲线所围的区域永远在左的为正； 速度的方向——与绕行方向同向的为（+）；反向为（-）。

为区别恒定流与非恒定流，可将右面的一项展开。

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4> 若速度势是单值函数,则在有势流中,沿封闭曲线的速度环量等于零。即：Γ =∮l u ds = 0 可用以判断有势流或有旋流。

三． 说明： 有、无旋流动取决于流体微团本身是否旋转，与流体的运动轨迹无关。 如： 无旋流 有旋流

2．实际流体的运动均应视为有旋流，只有理想流体才有可能是无旋流（因为没有粘性，便不存在切应力，不能使旋转的微团停止， 也不能使停止的微团旋转，流体微团只能维持原状），在工程中遇到的气、水等流体粘性极小，可作理想流体处理。

第四章 理想流体动力学和平面势流

本章学习重点：理解速度势函数、流函数，会建立势函数和流函数方程；了解流网的概念；透彻理解流体元流伯努里方程；会用毕托管测流速。

（1）流体动力学——研究流体运动且涉及力的规律及在工程中的应用。 （2）遵循的规律——牛顿第二定律。

（3）对于理想流体，因没有粘性，故作用于流体的表面力只有压应力，即动水压强。

§4—1 理想流体运动微分方程

——欧拉运动微分方程

一．欧拉运动微分方程 二．兰姆（葛罗米柯）运动微分方程

1?p?dux??x1?py??duy??y1?pz??duz??zx?

?ux1?p?u2X??()??2(uz?y?uy?z)??x?x2?t?uy1?p?u2Y??()??2(ux?z?uz?x)??y?y2?t?uz1?p?u2Z??()??2(uy?x?ux?y)??z?z2?t 适用于可压缩、不可压缩；恒定、非恒定； 在欧拉运动微分方程中，为了区分有旋流与无旋 有旋、无旋流。 流，可将左上方的方程变换成包含角转速的形式。即上

为区别恒定流与非恒定流，可将右项展开。 式所示兰姆微分方程。 右上式中有8个未知量：ux 、uy 、uz 、 p、ρ、X、Y、Z通常X、Y、Z、ρ可据已知条件分析得知，但仍有4个未知 量，故一般需再联立连续性微分方程。

三．伯诺里方程

1．积分条件：

（1）流体的流动为恒定流 ： ?ux?u?py ??z??t?t?t?t

（2）流体不可压缩、均质： ρ=c （常数）

从而有：

?u?0故dp??p?p?pdx?dy?dz?x?y?z （3）作用于流体上的质量力是有势的力，有势函数为： w(x,y,z)

X??w?xY??w?yZ??w ?z 对于恒定、有势质量力，有： Xdx?Ydy?Zdz?dW??w?w?wdx?dy?dz ?x?y?z15

（4）沿流线积分： ux=dx/dt ； uy=dy/dt ； uz= dz /dt 2．伯诺里方程： dx

将兰姆微分方程分别乘以 dy ，再相加，然后利用上述四个 dz 条件整理即可得方程：

3．只受重力作用的伯诺里方程：

2u12p2u2z1???z2???2g?2gu2W?p??c?21p1 不可压缩、均质、理想流体恒定流运动方程（固体边界相对地球无运动）。

§4—2 理想流体元流伯诺里方程

一．方程

1．推导依据：动能定理，即 ∑A= mv 2．元流伯诺里方程： 3．分析：

2

/2 ∑A ←合外力作功。

二．方程中各项的意义

1．物理意义（从能量的角度）

2u12p2u2 z1???z2???2g?2gp1 Z ——单位重量流体所具有的位能 单位重量流体

p/gρ——单位重量流体所具有的压能 所具有的势能 单位重量流体

u2/2g ——单位重量流体所具有的动能 所具有的机械能能

注：对于理想流体，元流各过流断面上的总机械能不变

不同过流断面上，流体的位能、压能、动能可相会转换。 2．几何意义（从水头的角度）

Z ——单位重量流体所具有的位置水头 单位重量流体所具

p/gρ——单位重量流体所具有的压强水头 有的测压管水头 单位重量流体

u2/2g ——单位重量流体所具有的速度水头 所具有的总水头 注：对于理想流体，元流各过流断面上的总水头保持不变； 测压管水头可升、可降、可不变。 三．毕托管 ——测量点流速的仪器。 原理：利用理想元流伯诺里方程。

pA

2uAp??B?2g?u?c2gpA?pB? §4—3 恒定平面势流

解决实际流体运动（特别是绕流运动）的方法之一就是将流场划分为两个区间，即： 1> 紧靠固体边壁的粘性起主要作用的区间； ← 粘性流体边界层理论 2> 不受固体边壁阻力影响、粘性不起作用的区间。 ← 势流理论 本节着重讨论恒定平面势流。 一． 速度势

1．速度势的定义：如果流体的运动为无旋流，则有： ?uz?y?ux?z?uy?x由此可知，必有： ??uy此关系式是使（ u x dx + u y dy + u z dz）成为某一函数 υ（x，y，z）的全微分的充分且必需条件，故必有一函数υ（x，y，z），此函数即称为速度势。所以无旋流也称为有势流。 对有势流，只要确定了速度势υ，即可确定出u x 、?z?uz??x?ux??y

?????ux?uy?x?yd??uxdx?uydy?uzdz???uz?zu y 、u z 的值， 而不必求出u x 、u y 、u z 的三个函数表达式，从而简化有势流分析过程。

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