流体力学讲义(2)

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三． 静压强分布图 —— 表示流体各质点静压强大小和方向的图。 1．压强图的绘制方法：

（1）压强大小（线段长度） ： 依据公式 p = p0+ρg h （2）压强的方向： 与作用面的内法线方向重合。

（3）压强图的形式： 有 相对压强图 和 绝对压强图 两种。 2．举例说明：

五．测量压强的仪器 （可配以图片）

§2—4 液体的相对平衡

相对平衡——液体相对地球处于运动状态，但液体的质点与质点之间、层与层之间无相对运动，液体处于相 对静止状态，称为相对平衡。

研究方法——将坐标系建立在运动的容器上，在利用静力学方法分析之。

一．等加速直线运动下液体的相对平衡 二．等角速旋转下液体的相对平衡

1．分析方法： （1）将运动力大小相等、方向相反的加在流体上； （2）利用综合式 dp=ρ(Xdx+Ydy+Zdz) 积分即可。

2．分析质量力： （1）重力 X1 = 0 （2）惯性力 X2 = ωx

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Y1 = 0 Y2 = ωy Z1 = -g Z2 = 0

将其代入综合式，即可得等角速旋转下液体中点压强的分布规律。

3．方程：

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?z)←等角速旋转的液体中点压强的分布规律。 2g

（1）等压面方程：

p?p0??(?2r2z??2r22g?c←等压面是一组具有同一中心轴的旋转抛物面。

（2）自由液面方程 z?

（3）任一点的压强：

?2r22g←同样是一抛物面。

?2r2p?p0??(?z)2g?p?p0??h4．注意：

（1）相对平衡的液体中，压强分布规律同静力学压强分布规律，均为线性变化； （2）在同一水平面上，位于轴心处的点压强最低，边缘处最大； （3）各点的测压管水头不恒等。

（4）等压面是一组具有同轴的旋转抛物面。

§2—4 作用在平面上的流体总压力

一． 图解法 ——适用于规则图形，如矩形平面且矩形的一条底边与液面齐平。

1．方法： （1）作静压分布图 ： 一般可作相对压强分布图，也可作绝对压强分布图。 （2）总压力的大小： 总压力=压强图面积×受压面宽度

（3）总压力的方向： 指向作用面的内法线。 arctgα = Pz / Px . （4） 总压力的作用点： 过压强分布图的形心与作用面垂直相交。

2．作图法找形心：

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3．特记：矩形在1/ 2处； 三角形在1/ 3处。

P 三． 解析法 ——可用于求解任意形状平面上的总压力。 1．分析：如图所示一受压平面。

dP = p dA =ρgh dA p a O P=∫dP = ∫p dA =∫ρgh dA =∫ρg sinθy dA =ρg sinθyC A h =ρghC A= p C A 2．结论：

（1）总压力的大小： X

总压力=受压平面形心点的压强×受压平面面积 Y （2）总压力的方向： 指向作用面的内法线 （3）总压力的作用点： y D =yC + (I C / yC A) I C ——惯性矩 见表2-1 3．举例分析：

yC y D

§2—4 作用在曲面上的流体总压力

受压曲面有三向曲面，二向曲面。 在此以二向曲面为例，研究其受力情况， 所得结论同样适用于三向曲面。

一．受压曲面总压力的大小计算式

1．方法： 将受压曲面上的力分解为两个分力，即

水平方向的分力PX——计算方法同平面； 垂直方向的分力PZ——利用压力体。 2．简单分析： z pa x

θ dPX h dPX dPZ θ dAZ

dPZ dp dp dA dAX A

水平方向： dPX = dp cosθ= p dA cosθ =ρg h dA cosθ =ρg h dAZ

PX = ∫A dPX = ∫A ρg h dAZ =ρg hc AZ = p c AZ 垂直方向： d PZ = dp sinθ= p dA sinθ=ρg h dA sinθ=ρg h dAX PZ = ∫A d PX =∫Aρg h dA X =ρg V

3．计算式： （1） 水平方向： P X =形心点的压强p c×受压曲面在yoz轴上的投影AZ

（2） 垂直方向： PZ = 液体的容重ρg×压力体的体积V 总压力： P 2 = P X 2 + P Z 2

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二．受压曲面上总压力的方向

1．水平力P X —— 方法同平面； PZ PZ 2．垂直力PZ —— 同压力体的方向。 压力体有： 实体（ ↓ ）

虚体（ ↑ ） 实压力体 虚压力体 压力体的绘制：由受压曲面的两个端点向液面 或液面的延长线引垂线，由曲面、 两条垂线及液面（或液面的延长线）所围成的几何体即压力体的体积。其所包容的液体重量即压力体。

注：压力体内可以有液体，也可以没有液体。 三．作用点的确定

1．水平力P X ——同平面壁受力。作用线过水平力作用点。 2．垂直力PZ ——作用线过压力体重心。

3．总作用力的作用线过上两条作用线的交点，与曲面相交的点即总压力作用点。

四．举例分析

§2—4 浮力 潜体及浮体稳定

浮体——漂浮在液体表面上的物体。 潜体——完全浸没在液体中的物体。

潜体、浮体的受力计算，实际上就是浮力的计算，工程实际中常常会遇到此类问题。 一． 阿基米德原理（略）

1．物体在静止的流体中受到两个方向力的作用，即： 重力G（↓） 和 浮力PZ （↑） 2．潜、浮体在流体中的三种存在状态 ： （1） G > PZ ；

（2） G < PZ ；

3．潜、浮体的稳定 （3） G = PZ 。 （1）稳定的条件： 必要条件： G = PZ 充分条件： 重心与浮心在同一铅垂线上。

（2）潜体的平衡——潜体在受到外力作用，发生微小倾斜时，能恢复原状的能力。

稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡

（重心在浮心之下） （重心与浮心重合） （重心在浮心之上）

PZ PZ PZ G G G

（3）浮体的稳定（由定倾半径ρ与偏心距e的关系而定） 稳定平衡（ρ> e ） ρ 随遇平衡（ρ= e ） 不稳定平衡（ρ< e ） 第三章 流体运动学 本章学习重点：理解欧拉法描述流体运动的有关概念；掌握流体运动方程（连续性方程）；理解有旋 流和有势流。

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1．流体运动学——研究流体机械运动的基本轨律及其在工程中的应用。 ←不涉及任何力。

2．解决的问题——建立流体运动的基本关系式，即研究运动要素随时间和空间的变化及其之间的关系。 3．研究方法——拉格朗日法；欧拉法。

§3—1 描述流体运动的两种方法

一．拉格朗日法（质点系法）

1．研究方法：从每一个流体质点的运动情况开始研究，进而得出整个流体的运动规律。 2．表达式： x=x(a,b,c,t)

y=y(a,b,c,t) 其中：a,b,c,t —— 称为拉格朗日变量。 不同的质点

z=z(a,b,c,t) 对应着不同的起始坐标a,b,c. （1）当a、b、c为变量，t为定量时，表示各质点在某时刻的空间分布情况； （2）当a、b、c为定量，t 为变量时，表示某一质点在一段时间内的运动轨迹； （3）当a、b、c、 t均为变量时，表示任一时刻、任一质点的运动情况。

3．研究对象： 质点。 4．拉格朗日法的优、缺点：

（1）优点：此法概念清楚，只要确定了流体的运动规律（即空间坐标表达式），即将求得加速度，从而利用

牛顿第二定律建立起作用于该质点的力的关系式。

（2）缺点：实际运用困难，在工程中无大的实际意义。因为我们关心的是流体的宏观运动，故一般采用下 面 的欧拉法。

二．欧拉法（速度场）

1．研究方法——在流场中任取固定位置，研究流体通过该固定点时的运动情况。此法是以大量的流体分子 作研究对象。

流场——流体运动时所占据的空间。 此法通过在流场中取足够多的固定空间点，将所有流经此点的流体 质点运动情况作综合分析，从而得出整个流体的运动情况。

2．表达式：

（1）压强场： p = p( x, y, z, t )

（2）密度场： ρ=ρ( x, y, z, t )

（3）速度场： ux= ux ( x, y, z, t )

uy= uy( x, y, z, t ) 其中： x, y, z, t —— 欧拉变量 uz= uz( x, y, z, t )

1> 当x, y, z一定，t为变量时，表示任意时刻质点通过某固定点时的速度变化情况； 2> 当x, y, z为变量，t一定时，表示某时刻质点的速度分布情况；

3> 当x, y, z，t均为变量时，表示任意时刻、任意质点的速度变化情况。

（4）加速度场：

当地加速度 、时变导数（表示流体通过某固定点时速度随时间的变化率）

dux? ux? ux?u?u??ux?xuy?xuzdt?t?x?y?zduy?uy?uy?uy?uyay???ux?uy?uzdt?t?x?y?zdu?u?u?u?uaz?z?z?zux?zuy?zuzdt?t?x?y?zax? 3．研究对象：流场

迁移加速度、位变导数 （表示某一时刻流体流经不同空间点时速度的变化率） 4．特点：欧拉法是以流场而非单个的质点做研究对应，故相对于拉格朗法简便，在工程中具有实用意义， 故一般可采用欧拉法研究流体的运动规律。

三． 迹线、流线、标记线 ——描述流体的运动，除可用数学表达式表述外，还可用更直观的图形来描述。 1．迹线——表示某质点在一段时间内的运动轨迹。迹线可以反映出同一质点在不同时刻的速度方向。 迹线方程： x=x(a,b,c,t) 中的t消去，即可得直角

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（1）用拉格朗日法表示的迹线方程： 将 y=y(a,b,c,t) 坐标系中的迹线方程。 z=z(a,b,c, t) （2）用欧拉法表示的迹线方程 ：

duxduyduz???dtuxuyuz （1）流线的特点：

将其分别积分，消去t，即可得迹线方程。

2．流线——某一时刻，流场中空间点连成的曲线。流场是由无数流线构成的，各空间点的流速均与流线相切。

1> 流线互不相交,且为光滑曲线(因为同一时刻\\同一质点只有一个速度矢量)； 但驻点、奇点除外。

2> 流线充满整个流场, 每个质点都位于一条流线上；

3> 某断面上流线的疏密，可反映该断面流速的大小。 （2）流线微分方程：

duxduyduzds???uxuyuzu其中t 是定值，在积分过程中可作为常量。将上式积分即可得 流线方程。 3．标记线——表示染色质点的轨迹。常用于实验（研究流体运动）中。

§3—2 描述流体运动的基本概念

（欧拉法）

一．流管、流束、过流断面、元流、总流

1．流管——在流场中作一任意、无限小的封闭曲线，然后由曲线上的各点作流线，所构成的管状面。 特点：流体的质点不能穿越流管； 若流动为恒定流，则流管的形状、位置不变。 2．流束——流管内所包容的流体。

3．过流断面——与所有流线都正交的横断面。 特点：过流断面可以是曲面，也可以是平面。

4．元流——充满于流管中的流体。过流断面面积无限小的流束。

特点： 若流动为恒定流，则元流的形状、位置不变； 同以过流断面上，各点的运动要素可认为相等。 5．总流——流动边界内无数元流之和。

二．流量、断面平均流速

1．流量Q——单位时间内通过过流断面的流体的量。

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（1）表示方法： 体积流量 m / s l / s .一般用于不可压缩流体。 重量流量 kN/s N/s

质量流量 kg/s 可用于可压缩流体。 （2）计算式： Q=∫A dQ =∫A u dA

2．断面平均流速v——过流断面上各点流速的加权平均值。是一种假想的速度，实际并不存在。

计算式：

v?Q?AudA?AA

一． 恒定流与非恒定流 ——按流体各点的运动要素是否随时间改变而划分。 1．恒定流——流体各点的运动要素均不随时间改变的流动。 （1）函数关系：运动要素仅是坐标的函数,与时间无关。

即： 其当地加速度为零：

§3—3 流体运动的分类

u = u ( x ,y, z ) p = p ( x ,y ,z ) ?u?p??0?t?t

（2）特点： 1> 当地加速度为零； 2> 流线、迹线、标记线三者重合；

3> 流管的位置、形状不随时间改变。

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