高数 第十章线面积分习题和答案

第十章曲线积分曲面积分练习题

A组 一.填空题

1. 设L是 x2?y2?1上从A(1,0)经E(0,1)到B(?1,0)的曲线段，则?edy=

Ly22.设MN是从M(1,3) 沿圆 (x?2)2?(y?2)2?2 至点 N(3,1)的半圆，则积分

???MNydx?xdy =

x?y3. L是从A(1,6)沿xy?6 至点B(3,2) 的曲线段，则?Le4. 设L是从A(1,0) 沿x?2xy2(ydx?xdy) =

y22?1 至点B(0,2)的曲线段，

则?2xeLdx?yexy2dy =

5. 设L是 y?x2 及 y?1 所围成的区域D的正向边界，则

242?L(xy?xy)dx + (x?xy)dy = 336. 设L是任意简单闭曲线，a,b为常数，则?(adx?bdy) =

L?7. 设L是xoy平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且?(x?2y)dx?(4x?3y)dy?9，则L所围成

L的平面区域D的面积等于

8. 常数 k = 时， 曲线积分?kxydx?xdy与路径无关。

L29.设?是球面 x?y?z?1，则对面积的曲面积分??222?x2?y?zds =

2210.设L为o(0,0), A(1,0) 和B(0,1)为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分?ds =

L11. 设L是从点(1,1)到(2,3)的一条线，则?L(x?y)dx?(x?y)dy=

12. 设L是圆周 x?acost, y?asint (0?t?2?)，则?L(x?y)dS= 13. 设?为曲面x?y?z?a， 则??2222223xyzdS222=

?二、选择题

1．设A?P(x,y)i?Q(x,y)j，(x,y)?D且P,Q在域D内具有一阶连续偏导数，又L：AB是D内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）

???A．若?Pdx?Qdy与路径无关，则在D内必有

L?Q?x??P?y

B．若?A?ds与路径无关，则在D内必有单值函数u(x,y)，

L使得du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy

?Q?x?P?yC．若在D内

?，则必有?A·ds与路径无关。

LD．若对D内每一闭曲线C，恒有?Pdx?Qdy，则?Pdx?Qdy与路径无关。

CL2．已知

(x?ay)dx?ydy(x?y)2为某函数的全微分，又为与路径无关的曲线积分被积函数，则a等于（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．2 3、设曲线积分

?Lxydx?y??x?dx与路径无关，其中??x?具有连续导数，且??0??0，则

2???1,1?0,0?xydx?y??x?dy=（ ）

2A．3/8 B．1/2 C．3/4 D．1

4．设S是平面x?y?z?4被圆柱面x2?y2?1截出的有限部分，则曲面积分??yds的值是（ ）

SA．0 ; B．

343; C． 43; D．?

5.设空间区域?由曲面z?a2?x2?y2与平面z?0围成，其中a为正的常数，记?的表面外侧为S，?的体积为V，则??xyzdydz?xyzdzdx?z?1?xyz?dxdy= （ ）

2222SA．0 B．V C．2V D．3V 6. 已知曲线C：x?y?1 逆时针方向一周，则?A. 0； B. 2?； C. ?2?； D. ?

7. 已知?为平面x?y?z?1 在第一卦限内的下侧曲面，则??(x?y?z)dxdy=（ ）

?2222xdy?ydxx?y22C=（ ）

A. ??dx?011?x0(x?y?x?y?1)dy； B.

2222?10dx?1?x0(x?y?x?y?1)dy

1?x22C.

?10dy?1?x0(x?y?x?y?1)dx； D. ??10dx?0(x?y?z)dy

228. 单连通区域G内P(x,y)，Q(x,y)具有连续的一阶偏导数，则曲线积分?LPdx?Qdy与路径无关的充要条件是（ ）

A 在G内有一闭曲线 ?，使??Pdx?Qdy?0； B 在G内有恒有

?P?x?y2??Q?y?x2

C. 在G内有另一曲线C，使?Pdx?Qdy?L?CPdx?Qdy；

D. 在G内有恒有

?Q?xz4??P?y

9. 设?为平面

x2?y3??1 在第一卦限内的部分，则

???(z?2x?43y)dS=（ ）

A 4?20dx?x3(1?2)0dy； B.

613?4?dx?dy；

00x3(1?2)32C.

613?4?dx?dy； D.

00234613?20dx?0dy

10. 设L：

xa22?yb22?1，则?Lxdy?ydxx?y22（ ）

A. 与L取向无关，与a,b大小有关； B. 与L取向无关，与a,b大小无关； C. 与L取向有关，与a,b大小有关； D. 与L取向有关，与a,b大小无关； 三、计算题

1. 计算曲线积分?xdx?(y?x)dy，其中L是圆周x2?y2?1 在第一象限中的部分，依逆时针方向。

L22. 计算??xdydz?ydzdx?2dxdy，其中?是上半球面z??222a?x?y上侧

3. 设L是由x?2xy?3y?6 所表示的正向椭圆，

计算 I = ?(x?3y)dx?(2xy?3y)dy

L222234．计算?dsx?yL，L是点A(0,?2)与B(4,0)直线段

5．计算?L?x?y?ds，L是以O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，为顶点的三角形闭回路。 6．计算?x?yds，L为圆周x?y?Rx

2222L2227．计算?xyds，L是圆周x?y?R的闭路

L8.计算?2xydx?xdy，L分别为下列三种情形。

L2 1）从点O(0,0)经y?x到A(1,1) 2）从点O(0,0)经y?x2到A(1,1) 3）从点O(0,0)经y?x3到A(1,1)

?x?9．计算

L?2?ydy2?，L是由直线x?1,y?1,x?3,y?5围成的逆时针闭路。

???10．计算?L11．计算?LFdSyx?12，其中F??yi?xj,L是由y?x,x?1及y?0所围成的三角形逆时针闭路。

2y?x，所围成的逆时针闭路。 dx?2xydy，L是由y?x与

12.计算?L?x?y?dx??x?y?dy，L是以(0,0),(1,0),(0,1)为顶点的三角形正向闭路。

22213.计算??x?y?dx??x?y?dy，L是沿椭圆

22Lxa22?yb22?1的正向闭路。

14.计算???2x?y?2z?ds，?：平面x?y?z?1

?15.计算???(2x?43y?z)ds，?：

x2?y3?z4?1在第一卦限

16计算??xds，?：x2?y2?z2?R2在第一卦限部分。

?四．应用题

1.利用曲线积分，求曲线所围图形的面积。椭圆x?4?3cost,y?2?4sint

22222.设半径为r的球面?的球心在定球面x?y?z?a (a?0)上, 问当r取何值时, 球面?在定球面

内部的哪部分面积最大?

3．在过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx ,(a?0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分??1?y?dx??2x?y?dy的值最小

3L4.求

?(e?xsiny?my)dx?(ecosy?m)dyxANC22，式中ANC为由A(a,0)至O(0,0)的x?y?ax ?a?0?

?设f(x)连续可导，求?五 证明题

1?yf(xy)y2Cdx?xy[yf(xy)?1]dy，式中C是从A(3,2223)到B(1,2)的直线段。

1. 设函数f(x)在( -?,+?)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y?0)内的有向分段光滑曲线，其起点为

(a,b)，终点为(c,d)，

记I??1yC[?yf(xy)]dx?2xy2[yf(xy)?1]dy

2（1） 证明曲线积分I与路径L无关；（2）当ab?cd时，求I的值

2. 设L2是包含坐标原点在内的任意光滑无重点闭回路，对于它所围成的区域来说取正向，试证：

?xdy?ydxx?y22L2?2?。

A组答案

一、1. 0；2. 0；3. 0提示：ydx?xdy?d(xy) ；4.0,提示：2xdx?ydy?d(x?2y220；)；5. 3/10；6.

7. 3/2；8. 2；9. 4?；10. 2?2；11.

52；12. 2?a7；13.0；

二、 1.C 2、D 3、B 4、A 5、B 6. B；7. A；8. D；9. D；10. D

三、1、2?a3 3、0 4、5ln2 5、1?2 6、2R2 7、2R3

8、1 9、32 10、1 11、?4130+2ln2 12、-1 13、?2?ab

?314、53 15、461 16、R

64四、1、12? 2、S??4、?am 5、-4

2?322a???a 3、y?sinx?3?274 ?0?x???是使曲线积分的为最小的曲线。

18B组

一、填空题：

1、设L是顺时针方向的椭圆

22x242?y2?1,其周长为l,则?(xy?x?4y)dS? . L222、设曲线C为x?y?z?R与x?z?R的交线，从原点看去C的方向为顺时针方向，则

2?Cydx?zdy?xdz? .

?x2?y2?z2?R23、计算?xdS，其中C:?.

C?x?y?z?02 4、设r?x?y?z，则div?gradr?? .

222222 5、设S为曲面x?y?z?1的外侧，则I????sxdydz?ydxdz?zdxdy= .

222二、解答题：

6、计算?xdy?ydxx?y22C，C为逆时针方向绕圆周x2?y2?1一圈的路径。

y7、设函数f(t)具有连续的二阶导数，且f(1)?f?(1)?1，试确定函数f()，使

x?L[yyy?xf()]dx?[y?xf?()]dy?0，其中L是不与y轴相交的简单正向闭路径。 xxx228、计算??2(1?x)dydz?8xydzdx?4xzdxdy，其中?是由曲线x?ey(0?y?a)绕x轴旋转成的

?旋转曲面。

9、空间立体V由x2?y2?1,z?0,z?2?x所围成，S为V的边界面。 （1）求曲面积分??xdS；（2）若S有均匀密度?（常数），求S的质量M。

S10、设f(u)为连续函数，C为xOy平面上逐段光滑的闭曲线，证明：

?Cf(x?y)(xdx?ydy)?0

22y2?32322 B组答案：1．4l 2．?yy32?R 3．

R 4．

3 5．

125?

6．2? 7．f()?()?()?1 8．2?a2(e2a?1) 9．(1)?；(2)?(2?5)?

xxx2

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