第三章：流体运动学(4)

d?1?vy?vx?(?)??z dt2?x?y可知：?z?速度。

同理有

1?vy?vx(?)代表流体微团绕过Ａ点并平行于ｚ轴的轴线旋转的平均角2?x?y?x?(1?vz?vy?)

2?y?z1?vx?vz?)

2?z?x?y?(代表流体微团绕过Ａ点平行于ｘ轴和ｙ轴的轴线旋转的平均角速度。 流体微团的运动由如下三部分组成

１）以速度v（vx，vy，vz）作平移运动；

２）绕过Ａ点的瞬时轴以角速度?（ωx，ωy，ωz）作旋转运动；

３）变形运动：包括以应变率为ｅx、ｅy、ｅz的线变形运动以及角速度为γx，γy，γ

z的剪切变形运动。前者使六面体微团体积扩大或缩小，后者使六面体微团的形状改变。

??矢量形式为

?Rotv叫速度向量的旋度，表示微团旋转的程度。

?1???1????xi??yj??zk?Rotv???v

22????Rotv?2???

???式中：?称为涡量，为?的二倍，同样表示微团旋转速度。?的方向规定以逆时针为正。

写成张量形式

?ex ?z ?y???S???z ey ?x?

???? ? e??yxz?或写成一个标量函数

??1(exdx2?eydy2?ezdz2??zdxdy??xdydz??ydzdx) 2海姆霍兹速度分解定理式可写成

??1????1??v1?v?Rotv?dr?Sdr?v?Rotv?dr?grad?

22§３-５旋涡运动与无旋运动

自然界和工程实际中的流动分为两大类型：

旋涡运动——流体微团有绕着穿过自身的轴的转动，转动角速度??0。

无旋运动——流体微团除平移和变形以外，本身没有旋转，这时转动角速度为零，即

???0（ωx＝ωy＝ωz＝０）

例3.2 均匀流动。假设流线均为水平直线，流场的速度分布为ｖx＝ｖ0，ｖy＝０。

很易验证ωx＝ωy＝ωz＝０，可见运动是无旋的。另一方面，如果用直角边代表流体微团，显见它只有平移，既不转动，也没有变形，如图３-１６所示。 例3.3 平行剪切流动。流场具有抛物线规律的速度分布

?v0y2vx?(2y?)

hhｖy＝０

容易验证 ωx＝ωy=0 ?z?v0y(?1)?0 有旋运动。 hh如图3-17所示。可以看出，水平边ｃｄ不转动，但垂直边ａｂ由于ａ点处速度大于ｂ点处速度，故作顺时针转动。所以其分角线也顺时针转动。粘性流体在管道中流动以及粘性流体在固体壁面附近流动时，其速度分布是接近这种抛物线规律的，因此管道中和固壁附近的流动是有旋的。

图3-16 图3-17

例3.4 流体像刚体一样转动，流线是同心圆族，流场各点的速度与r成正比，v=rΩ。其中常数Ω为整个流体的转动角速度。例如长江大桥桥墩后面的大尺度的旋涡，以及旋风中心处的流体运动，就是本例所述的情况。

先在数学上验证流动是否有旋。流体运动的圆周切向速度ｖ＝ｒΩ，它在ｘ方向的投影为

vx??vsin???r?负号表示ｖx方向与ｘ方向相反。

同理

ｖy＝ｖcosθ＝ｒΩ

代入旋转角速度公式（３-４０），即可证得

y???y rx＝Ωｘ rωx＝ωy＝０

1?vy?vx又 ?z?(?)???0

2?x?y可见这种运动的确是有旋的。每个流体微团作圆周运动的过程中也以角速度Ω自转。 例3.5 流体微团作圆周运动，其速度与半径ｒ成反比，比例常数为

?。如果流体中存在2?旋风中心，它们就会带动周围流体，使之产生运动。旋涡或旋风中心周围的流体运动，就是本例所述的情形，

流体微团切向速度为 v?ｘ轴上投影 ｖx=－ｖsinθ=?同理

? 2?r?y?y?y ????2222?rr2?x?y2?rVy?Vcos???x?x?x??

2?rr2?r22?x2?y2将以上两个速度分量代到角速度分量表达式中，可以验证

ωx＝ωy＝ωz＝０

可见这种流动是无旋运动。 §３-6速度势函数与流函数 一、速度势函数

对于无旋运动，可引进速度势函数，以便进行简单的处理。 如果运动是无旋的（ωx＝ωy＝ωz＝０），有

?vz?vy ??y?z?vx?vz? ?z?x?vy?x??vx ?y这个式子正好是微分三项式ｖxｄｘ＋ｖyｄｙ＋ｖzｄｚ为某个函数υ的全微分的充分必要条件

ｖxｄｘ＋ｖyｄｙ＋ｖzｄｚ＝ｄυ

这个函数称为速度势函数。

具有速度势函数的流动称为势流。由于无旋流动存在速度势，故无旋流动也称为势流。下面我们就会看到速度势函数与速度之间存在一个简单的微分关系。

将υ的全微分写出来

d??比较可得

??????dx?dy?dz ?x?y?zvx??? ?xvy?vz??? ?y?? ?z函数υ之所以叫速度势，就是因为可以通过用求偏导数的方法得到速度。

由此可见，欲求ｖx、ｖy、ｖz三个函数，只需设法求出一个函数υ即可，这样有事半功倍之效。

将式速度关系代入连续性方程可得

?????????()?()?()?0 ?x?x?y?y?z?z即

?2??2??2??2?2?0 2?x?y?z也就是说，速度势函数满足拉普拉斯方程。这样，就把一个无旋流动的流体力学问题，化为一个在具体边界条件下求解拉氏方程的问题。 二、流函数

在平面运动中（即流动参数只在平面内变化，与垂直于这个平面的坐标无关），各物理量只是两个空间坐标（ｘ，ｙ）的函数。（如果是非定常运动，还包含时间ｔ），即

ｖx＝ｖx（ｘ，ｙ） ｖy＝ｖy（ｘ，ｙ） ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ）

对于平面无旋运动，存在速度势υ＝υ（ｘ，ｙ），而且

vx??? ?xvy??? ?y流函数可以从不可压缩流体平面流动的连续性方程式找出来，该方程为

?vx?vy??0 ?x?y为了使ｖx、、ｖy能满足连续性方程式，我们设想用一个函数ψ来代表ｖx、、ｖy两个函、、

数，此ψ与ｖx、、ｖy之间的关系为 、

vx??? ?y?? ?xvy??将此式代入连续方程，得

???????2??2? ()?(?)???x?y?y?x?x?y?y?x由ψ确定ｖx、、ｖy的满足连续性方程式，故ψ的存在是合理的。

流函数存在的条件：只要是连续的平面流动就存在流函数，不一定要求运动是无旋的。还有一些流动也存在流函数。如可压缩流体的平面运动，不可压缩流体的空间轴对称流等，但后两种情况都已超出了本书的讨论范围。 流函数性质：

１）流函数和流线的关系：ψ＝const的曲线和流线重合。

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