第三章：流体运动学

第三章：流体运动学

课堂提问：

流体运动与刚体运动有什么差别？

本章仅研究流体的运动规律，不涉及力。 本章内容：

1．研究流体运动的两种方法 2．几个基本概念 3．连续性方程式 4．流体微团的运动 5．速度势函数与流函数 本章重点：

1.基本概念：定常流与非定常流，均匀流与非均匀流，有旋流与无旋流，一元，二元，三元流动。流线及其特性，流管，流束，流量，过流断面，欧拉法表示的流体质点的加速度；流体微团的运动形态及其物理意义；有旋运动与无旋运动；流函数，势函数存在的条件及其特性。 2.基本方法：研究流体运动的两种方法，主要掌握欧拉法。给定流场速度分布，求：流体质点的加速度，流线形状，旋转角速度，剪切变形速度，线变形速度，流量。 3.基本原理：质量守恒定理——连续性防方程

本章难点：

1.欧拉法及其流体质点加速度的表示及物理意义 2.流体微团的运动形式及物理意义。 3.控制体法的应用。

§3-1 研究流体运动的两种方法

两个概念的差别：

流体质点：流体质点就是体积很小的流体微团。流体就是由这种流体微团连续组成的。流体微团在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间位置。

空间点：空间点仅仅是表示空间位置的几何点，并非实际的流体微团。空间点是不动的，而流体微团则动。同一空间点，在某一瞬时为某一流体微团所占据，在另一瞬时又为另一新的流体团所占据。也就是说，在连续流动过程中，同一空间点先后为不同的流体微团所经过。

研究流体运动的两种方法： 一、拉格朗日法（质点法）

始终跟随着每一个别的流体质点，研究这些流体质点在运动过程中的位置以及有关流动物理量（速度、压力、密度等）的变化情况。

拉格朗日变量：（ａ，ｂ，ｃ）某一个确定时刻t流体质点在空间所对应的位置坐标。 以ａ，ｂ，ｃ标认的流体质点在ｔ时刻所对应的位置ｘ，ｙ，ｚ应该是ａ，ｂ，ｃ和时间ｔ的函数，即

ｘ＝ｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ） ｙ＝ｙ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ） ｚ＝ｚ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）

速度

?x?vx(a,b,c,t) ?t?yvy??vy(a,b,c,t)

?t?zvz??vz(a,b,c,t)

?tvx?加速度

?vx?2xax??2?ax(a,b,c,t)

?t?t?2yay??2?ay(a,b,c,t)

?t?t?vz?2zaz??2?az(a,b,c,t)

?t?t速度与加速度是（ａ，ｂ，ｃ）和ｔ的函数。当（ａ，ｂ，ｃ）恒定时，为某一特定的流体质点在不同时刻所对应的运动情况；当ｔ恒定时为一群流体质点在某一个特定的时刻所对应的分布情况及运动情况。 二、欧拉法（空间点法）：

欧拉法着眼于选定的空间点，研究不同的时刻各个时刻各空间点上与流动有关的物理量的规律。

欧拉变数：ｘ，ｙ，ｚ，ｔ

空间一点的速度、压力和密度可表示成：

?vy ｖx＝ｖx（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）

ｖy＝ｖy（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ｖz＝ｖz（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ） ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）

如果（ｘ，ｙ，ｚ）不变而ｔ变，为在一个固定空间点上各个物理量的变化。 流体质点的加速度：

时刻t某一流体质点到达A（x，y，z），x方向的速度分量为vx(x,y,z,t）。?t之后流体质点沿其轨迹运动至新的位置B(x?vx?t,y?vy?t,z?vz?t)。速度为 vx（x+vxΔt，y+vyΔt，z+vzΔｔ，t+Δｔ）=vx?vx?t所以加速度为：

?vy?vx?v?v?vy?t?vz?tz??tx ?x?y?z?tax?limvx(x?vx?t,y?vy?t,z?vz?t,t??t)?vx(x,y,z,t)

?t?v?v?v?v?x?vxx?vyx?vzx?t?x?y?zdv?xdt?t?0同理有：

ax?dvx?vx?v?v?v??vxx?vyx?vzx dt?t?x?y?zay?dvydt??vy?t?vx?vy?x?vy?vy?y?vz?vy?z

az?dvz?vz?v?v?v??vxz?vyz?vzz dt?t?x?y?z１）

?vx 局部导数，它是在一固定空间点处，vx随时间变化而引起的加速度,又叫“局部?t加速度”。 ２）vx?vx?v?v?vyx?vzx 变位导数，它是在同一时间，在空间不同点处速度不同而?x?y?z引起的加速度，又叫“对流加速度”。 加速度的矢量式：

???dv?v??a???(v??)v

dt?t?为微分算：

????????i?j?k

?x?y?z随体导数或物质导数：

第二项(v??)称为对流导数，即

?dD为某个量对时间的全导数，亦常记为。第一项称为局部导数，dtDtD????v?? Dt?t压力ｐ和密度ρ等也同样适用，如求密度的随体导数有：

?D?????(v??)? Dt?t拉格朗日法和欧拉法只是研究流体运动的着眼点不同而已，对于同一个问题，用两种方法描述的结果应该是一致的，事实上这两种方法是可以互换的，见下面的例题。

例３.１ 已知在拉格朗日变数下的速度表达式为：

vx=(a+1)et-1 vy=(b+1)et-1

式中:ａ、ｂ为ｔ＝０时流体质点所在位置的坐标。试求： （１）ｔ＝２时刻流体质点的分布规律； （２）ａ＝１，ｂ＝２时这个质点的运动规律； （３）流体质点的加速度； （４）欧拉变数下的速度与加速度。 解：（１）首先由（３-２）式知

dx?vx?(a?1)et?1 dtdy?vy?(b?1)et?1 dt积分得

x?(a?1)et?t?C1

y?(b?1)et?t?C2

注意到在t=0时，x=a、y=b，即有

a?(a?1)?C1 b?(b?1)?C2

从而得 C1=-1 C2=-1 流体质点的一般运动规律：

x?(a?1)et?t?1 y?(b?1)et?t?1

ｔ＝２时，

x?(a?1)e2?3 y?(b?1)e2?3

2）对于ａ＝１，ｂ＝２的特定流体质点，其运动规律为：

x?2et?t?1

y?3et?t?1

３）质点的加速度

ax?dvx?(a?1)et dtay?４）由质点一般运动规律

dvydt?(b?1)et

x?(a?1)et?t?1 y?(b?1)et?t?1

可求得拉格朗日变数ａ与ｂ的表达式为

a?(x?t?1)e?t?t?1 b?(y?t?1)e?t?t?1

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