最新高三三角函数解题方法s - (2) - 图文(5)

bsinBb2sin60?3∴=sin60°=。 ?cac2解法二：在△ABC中，

由面积公式得

11bcsinA=acsinB。 22∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。

bsinB3=sinA=。 c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

∴

例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tan?tan?3tantan的值。

解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，

从而

A2C2AC22A?CA?C＝60°，故tan?3.由两角和的正切公式，

22AC?tan22?3。 得

AC1?tantan22tan所以tan ?tan?3?3tantan,A2C2AC22ACAC。 tan?tan?3tantan?32222点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知

角求解，同时结合三角变换公式的逆用。 题型6：正、余弦定理判断三角形形状

例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C

解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B

点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径

例12．（2009四川卷文）在?ABC中，角AA、B为锐角，、、BC所对的边分别为a、b、c，

inA?且s510,sinB? 510（I）求A?B的值；

（II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。

解（I）∵A、B为锐角，sinA?510 ,sinB?5102∴ cosA?1?sinA?,cosB?1?sinB?2255310 10253105102 cos(A?B)?cosAcosBA?sinsinB?????.5105102∵ 0 ?AB???∴ A?B?? 43?2，∴ sinC? 42（II）由（I）知C?由

abc得 ??sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2bc,?5b

b?2?1 又∵ a?∴

2b?b?2?1 ∴ b?1

∴ a?2,c?5

北

题型7：正余弦定理的实际应用

例13．（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，

B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为

00A 10 20 B

?

600，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，?C

然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，2?1.414，6?2.449） 解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，

?,在△ABC中，sin?BCAsin?ABC

ABAC

?ACsin6032?6?, ?即AB=sin1520因此，BD=

32?6?0.33km。 20故B，D的距离约为0.33km。

点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。

（2）（（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿

水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤

解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B?1,?1点到M，

N的俯角?2,?2；A，B的距离 d （如图所示） .

M?②第一步：计算AM . 由正弦定理Adsin?2 ；

sin(???)12第二步：计算AN . 由正弦定理AN?dsin?2 ；

sin(?2??1)22NA?M?ANA?2M?ANcos(?)第三步：计算MN. 由余弦定理M . 11方案二：①需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角?图所示）.

1??，?1；B点到M，N点的俯角?2，?2；A，B的距离 d （如

M? ②第一步：计算BM . 由正弦定理Bdsin?1 ；

sin(?1??2)

第二步：计算BN . 由正弦定理BN?dsin?1 ；

sin(?2??1)22NB?M?BNB?2M?BNcos(?)第三步：计算MN . 由余弦定理M 22??21.（2009四川卷文）在?ABC中，A、B为锐角，角A、、BC所对的边分别为a、b、c，

且sinA?510 ,sinB?510（I）求A?B的值；

（II）若a?b?2?1，求a、b、c的值。

解（I）∵A、B为锐角，sinA?510 ,sinB?5102∴ cosA?1?sinA?,cosB?1?sinB?2255310 10253105102 cos(A?B)?cosAcosBA?sinsinB?????.5105102∵ 0 ?AB???∴ A?B?? 43?2，∴ sinC? 42（II）由（I）知C?由

abc得 ??sinAsinBsinC5a?10b?2c，即a?2bc,?5b

b?2?1 又∵ a?∴

2b?b?2?1 ∴ b?1

∴ a?2,c?5

点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数f(t)?t?4，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？ t【思维总结】

1．解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。

2．三角形内切圆的半径：r?a?b?c斜2S?，特别地，r； ?直a?b?c23．三角学中的射影定理：在△ABC 中，b，? ?a?cosC?c?cosA4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，A，? ?B?sinA?sinB5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

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