最新高三三角函数解题方法s - (2) - 图文(4)

B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。

【典例解析】

题型1：正、余弦定理

（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，AB?a，AC?b，a?b?0，S?ABC?15，4a?3,b?5，则?BAC?

0

（ ）

0A.． 30 B ．?150 C．150 D． 30或150 答案 C

例1．（1）在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形；

（2）在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精确到1，边长精确到1cm）。

解析：（1）根据三角形内角和定理，

0000C?180?(A?B)?180?(32.0?81.8)?66.20；

根据正弦定理，

0asinB42.9sin81.8； b???80.1(cm)0sinAsin32.0根据正弦定理，

0asinC42.9sin66.2c???74.1(cm). 0sinAsin32.0（2）根据正弦定理，

0bsinA28sin40sinB???0.8999.

a20因为00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.

00000①当B?640时， C， ?180?(A?B)?180???(4064)760asinC20sin76c???30(cm). 0sinAsin40②当B?1160时，

0asinC20sin24 C，c???13(cm). ??180(A?B)???180(40116)?240sinAsin40点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器

00000例2．（1）在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A；

?134.6cm?87.8cm?161.7cm（2）在?ABC中，已知a，b，c，解三角形

解析：（1）∵

2223)?(6?2)?2?23?(6?2)=(cos450

2=1 2(6??2)?43(3?1)

=8 ∴b?22.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

222222b??ca(22)?(6?2)?(23)1解法一：∵cosA ∴A?600. ???,2bc22?22?(6?2)a230解法二：∵sinA ?sinB??sin45,b22又∵6?2＞2.4?1.4?3.8,23＜2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900, ∴A?600.

（2）由余弦定理的推论得：

222b2?c2?a287.8?161.7?134.6cosA???0.5543,

2bc28?7.81?61.7A?56020?；

222c2?a2?b2134.6?161.7?87.8cosB? ??0.8398,

2ca21?34.61?61.7B?32053?；

0000??? C??180(A?B)??180(5620?3253)?90047.点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。

题型2：三角形面积

inA?cosA?例3．在?中，sABC2，A，A，求tanA的值和?ABC的C?2B?32面积。

解法一：先解三角方程，求出角A的值。

??sinA?cosA?2cos(A?45)?

1??cos(A?45)?.22,2

??又0, ? A?45?60,A?105.?A?1801?3?tanA?tan(45?60)???2?3, 1?3??????? sin A?sin105?sin(45?60)?sin45cos60?cos45sin60?.2?641126?3 S。 ?AC?ABsinA??2?3??(26?)?ABC2244 解法二：由s计算它的对偶关系式s的值。 inA?cosAinA?cosA

?sinA?cosA?2 ① 2?(sinA?cosA)2? ?2sinAcosA??121

2??0??A?180,?sinA?0,cosA?0.2 ?(sinA?cosA)?1?2sinAcosA?,

32 ?sinA?cosA?6 ② 2 ① + ② 得 sinA?2?6。

4 ① － ② 得 cosA?2?6。

4从而 tanA?sinA2?64。 ????2?3cosA42?6以下解法略去。

点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 例4．（2009湖南卷文）在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则

AC的值等于 ， cosAAC的取值范围为

答案 2(2,3) 解析 设?由正弦定理得 A??,?B?2?.ACBCACAC ?,??1??2.sin2?sin?2cos?cos??2?900???45由锐角?ABC得0，

?180?3?90?30??60又0，故30???45??cos?? ?AC?2cos??(2,3).例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

且满足cos????223， 2A25B?AC?3?，A．

25

（I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值． 解 （1）因为cosA34A252，又由A B?AC?3?cosA?2cos?1?,sinA?，?2552512得b ScsinA?2ccosA?3,?bc?5，??ABC?b（2）对于bc?5，又b?c?6，?或b?1b?5,c?1,c?5，由余弦定理得

，?a?25 例6．（2009全国卷Ⅰ理）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知

22 求b a?c?2b，且sinACcos?3cossAinC,分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现sinACcos?3cossAinC,在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在?ABC中

则由正弦定理及余弦定理sinAcosC?3cosAsinC,22222222a?b?cb?c?a222?3c,化简并整理得：2有:a.又由已知(a?c)?b2ab2bc22. a?c?2b?4b?b2.解得b?4或b?0(舍）b,b?0. 解法二:由余弦定理得: .又a?c?2所以b ?2ccosA?2

①

22又s，? inAcosC?3cosAsinCsinAcosC?cosAsinC?4cosAsinCinB?4cossACin sin(A?C)?4cossACin，即s由正弦定理得sinB?由①，②解得b?4.

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练 题型4：三角形中求值问题

bsinC，故b ?4ccosAc ②

例7．?ABC的三个内角为AosA?2cos、、BC，求当A为何值时，c大值，并求出这个最大值。

B+CπAB+CA解析：由A+B+C=π，得= －，所以有cos =sin。

22222B+CAAAA13

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ；

2222222πA1B+C3

当sin = ，即A= 时, cosA+2cos取得最大值为。

22322

B?C取得最2点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。 例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA25B?AC?3，A． ?25（I）求?ABC的面积； （II）若c?1，求a的值． 解（Ⅰ）cosA?2cos?1?2?(22A22532)?1? 554535又A，所A?1?cosA?，而AB.AC?AB.AC.cosA?bc?3?(0,?)，sin以bc?5，所以?ABC的面积为：

114 bcsinA??5??2225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc?5，而c?1，所以b?5

?b?c?2bccosA?25?1?2?3?25所以a

点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的

公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力 题型5：三角形中的三角恒等变换问题

例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB的值。 c22分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b=ac可变形为

2

b2c解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。

=a，再用正弦定理可求

bsinB的值。 c1b2?c2?a2bc在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。

2bc22bcbsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，

a

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