三角函数解题方法 2010.11.1
一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形
基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，2??(???)?(???)，
????2????2，
???2?????2??????2?等）
2?1?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____。 5444??1?22）已知0???????，且cos(??)??，sin(??)?，求cos(???)值。
2292333）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，cos(???)??，则y与x的函数关系为
5如1）已知tan(???)?______ （答：1）
32393431?x2?x(?x?1)） ；2）?；3）y??22729555(2)三角函数名互化(切化弦)，
如1）求值sin50(1?3tan10) （答：1）； 2）已知
1sin?cos?2?1,tan(???)??，求tan(??2?)的值 （答：）
81?cos2?3(3)公式变形使用。
如1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanB?tanA?tanB?1，则cos(A?B)＝_____ （答：?2）； 23，则?ABC是____4（答：等边）
2)设?ABC中，tanA?tanB?3?3tanAtanB，sinAcosA?三角形
(4)三角函数次数的降升 如1)若??(?,?)，化简（答：sin321111??cos2?为_____ 2222?）； 253(x?R)的单调递增区间为___________ 2?5?,k??](k?Z)） （答：[k??12122）函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x?(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。
11?sin?2；2 （答：如1）求证： 2）化简：?????1?2sin21?tan2tan(?x)sin2(?x)22441cos2x） 21?tan?2cos4x?2cos2x?(6)常值变换主要指“1”的变换（1?sinsecx??costanx?tanx?cotx?tan??sin??2242等），
22如已知tan??2，求sin??sin?cos??3cos?
（答：
3）. 5 sinxcosx”的内存联系――“知一求二”(7)正余弦“三兄妹—sinx?cosx、，
t2?1如1）若 sinx?cosx?t，则sinxcosx? __ （答：?)，特别提醒：这
2里t?[?2,2]；
4?72）若??(0,?),sin??cos??1，求tan?的值。 （答：?）；
23??sin2??2sin2??k(???)，试用k表示sin??cos?的值 （答：3）已知
421?tan?。 1?k）
（7）、辅助角公式（收缩代换）的应用：asinx?bcosx?a2?b2sin?x???(其中?角
?角的值由tan??所在的象限由a, b的符号确定，
b确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a如（1）若方程sinx?3cosx?c有实数解，则c的取值范围是___________. （答：[－2,2]）；
（2）当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______ (答：
?3)； 2 (答：
（3）如果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?= －2)； （4）求值：
312??64sin20??________ (答：22sin20?cos20?32)
二、三角函周期的求法
1．定义法：
定义：一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，
ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）
都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做
最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin（）的
2?x?周期 332?2?解：∵y=f（x）=3sin（x?）=3sin（x?+2?）
3333 =3sin（
2?2?x?2??）=3sin[(x?3?)?] 3333 = f（x+3?）
这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3?，且必增加到x+3?时，函数值重复出现。 ∴函数y=3sin（
2?x?）的周期是T=3?。 332．公式法：
（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（?x??）、y=Acos（?x??）、ｙ＝tg（?x??）形成（其中A、?、?为常数，且A?0、?＞0、??R），则可知道它们的周期分别是：2?、?2??、。 ??例2：求函数y=1-sinx+3cosx的周期
解：∵y=1-2（
13 sinx-cosx）
22??sinx-sin cosx） 33? =1-2sin（x-）
3这里?=1 ∴周期T=2?
=1-2（cos
（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sin?x、cos?x、tg?x的形式，再确定它的周期。 例3：求f（x）=sinx·cosx的周期 解：∵f（x）=sinx·cosx=
1sin2x 2这里?=3，∴f（x）=sinx·cosx的周期为T=?
3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期（转化法）
例4 求函数y?23sinxcosx?2sin2x的周期 解：y?23sinxcosx?2sin2x?3sin2x?cos2x?1
?2(
31?sin2x?cos2x)?1?2sin(2x?)?1 226
∴ T?2???． 2xxx(sin?cos),求周期 333xx12x12x2x?sincos?(1?cos)?sin 解：∵f(x)?sin
3332323 例5 已知函数f(x)?sin ?∴ T?112x2x122x??(sin?cos)??sin(?) 223322342??3?． 234、遇到绝对值时，可利用公式 |a|?a2, 化去绝对值符号再求周期
例6 求函数 y?|cosx|的周期
解：∵ y?|cosx|?cosx?∴ T?21?cos2x 22??? ． 2
三、三角函数最值问题的几种常见类型 1.利用三角函数的有界性求最值
利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx∣≤1,∣cosx∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A≠0, φ≠0)的函数最值.
132
例:已知函数y= cosx+ sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时，求自变量x的
22
集合.
1132
解散y= (2cosx-1)+ + (2sinxcosx)+1 444135
= cos2x+ sin2x+
444
?51
= sin(2x+)+ 264
???=+2kπ，k∈Z.即 x=+kπ, k∈Z. 626?所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 {x|x=+ kπ, k∈Z.}
6 y得最大值必须且只需2x+ 2.反函数法 例:求函数y?2cosx?1的值域
2cosx?1acosx?b[分析] 此为y?型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、
ccosx?d
同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 解法一：原函数变形为y?1?解法一：原函数变形为cosx?12,?cosx?1，可直接得到：y?3或y?.
32cosx?11y?1y?1,?cosx?1,??1,?y?3或y?.
32?y?1?2?y?1?3.配方法—---转化为二次函数求最值
例：求函数y=f(x)=cos2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x-2
325)-, 24∴当cos2x=1,即x= kπ,(k∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= kπ+
?,( k∈Z)时，y=max=5. 2这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法
y=asinx+bcosx型处理方法：引入辅助角? ，化为y=a2?b2sin（x+?）,利用函数
sin?x????1即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类。
例：已知函数y?13cos2x?sinx?cosx?1?x?R?当函数y取得最大值时，求自变22量x的集合。
[分析] 此类问题为y?asinx?bsinx?cosx?ccosx的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为y?asinx?bcosx型求解。 解
：
22?511?cos2x3sin2x1351?13??????1?cos2x?sin2x???cos2x?sin2x??422224442?22?1???5???7?sin?2x???,?2x???2k?,?x??k??k?z?,ymax?.2?6?46264y?
5. 利用数形结合 例： 求函数y?sinx的最值。
2?cosx 解：原函数可变形为y?sinx?0.
cosx?(?2)22(cos，sinxB)和(?2，0) 这可看作点Ax的直线的斜率，而A是单位圆x?y?1上
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