工程数学-线性代数第五版答案02(12)

A 1A(A E) 2A 1E A 1

1(A E) 2

又由 A2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E (A 2E)(A 3E) 4 E

所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1

(A 2E) 1 1(3E A)

4

1 16 设A为3阶矩阵 |A| 求|(2A) 1 5A*| 2

1A* 所以

解 因为A 1

|A|

|(2A) 1 5A*| |1A 1 5|A|A 1| |1A 1 5A 1|

222

| 2A 1| ( 2)3|A 1| 8|A| 1 8 2 16 17 设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*) 1 (A 1)* 证明 由A 1

1A* 得A* |A|A 1 所以当A可逆时 有 |A|

|A*| |A|n|A 1| |A|n 1 0 从而A*也可逆

因为A* |A|A 1 所以 (A*) 1 |A| 1A 又A

1(A 1)* |A|(A 1)* 所以 |A 1|

(A*) 1 |A| 1A |A| 1|A|(A 1)* (A 1)* 18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A| 0 则|A*| 0 (2)|A*| |A|n 1 证明

(1)用反证法证明 假设|A*| 0 则有A*(A*) 1 E 由此得

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