工程数学-线性代数第五版答案02(11)

证明 一方面 有E (E A) 1(E A) 另一方面 由Ak O 有

E (E A) (A A2) A2 Ak 1 (Ak 1 Ak) (E A A2 A k 1)(E A) 故 (E A) 1(E A) (E A A2 Ak 1)(E A) 两端同时右乘(E A) 1 就有

(E A) 1(E A) E A A2 Ak 1

15 设方阵A满足A2 A 2E O 证明A及A 2E都可逆 并求A 1及(A 2E) 1

证明 由A2 A 2E O得 A2 A 2E 即A(A E) 2E 或

A 1(A E) E 2

1(A E) 2

由定理2推论知A可逆 且A 1 由A2 A 2E O得

A2 A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E 或

(A 2E) 1(3E A) E

4

1(3E A) 4

由定理2推论知(A 2E)可逆 且(A 2E) 1

证明 由A2 A 2E O得A2 A 2E 两端同时取行列式得 |A2 A| 2 即 |A||A E| 2 故 |A| 0

所以A可逆 而A 2E A2 |A 2E| |A2| |A|2 0 故A 2E也可逆 由 A2 A 2E O A(A E) 2E

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